Esboce o gráfico das seguintes funções
g(x)=x^3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
g(x)=x^3
Aqui o conteúdo é análise de gráfico de polinomial de grau 3: vamos precisar estudar domínio, monotonicidade, concavidade, simetria e alguns pontos-chave para orientar o esboço.

Passo 2

Domínio e simetria
  • O domínio de g é todo o conjunto dos reais, ou seja, R.
  • A função é ímpar, pois
g(-x)=(-x)^3=-,x^3=-,g(x),
logo o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Monotonicidade e derivada
Calculemos a derivada:
g'(x)=3x^2>=0forall xinR
Isso mostra que g é estritamente crescente (a derivada só zera em x=0, mas não muda de sinal), de modo que não há máximos ou mínimos locais.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão
A segunda derivada é
g''(x)=6x,
que muda de sinal em x=0. Portanto
  • para x<0, g''(x)<0 (concavidade para baixo);
  • para x>0, g''(x)>0 (concavidade para cima).
    Em x=0 há um ponto de inflexão.

Passo 5

Pontos-âncora para o esboço
Vamos marcar alguns pontos simples:
g(-2)=-8, g(-1)=-1, g(0)=0, g(1)=1, g(2)=8
Com isso, sabemos que o gráfico passa por (-2,-8), (-1,-1), (0,0), (1,1) e (2,8), subindo suavemente e mudando de concavidade em 0.

Resposta

O esboço de g(x)=x^3 é uma curva em “S” passando pela origem, simétrica ímpar, estritamente crescente, com concavidade para baixo à esquerda de x=0 e para cima à direita. Traçando os pontos (-2,-8), (-1,-1), (0,0), (1,1) e (2,8), obtemos o gráfico pedido.

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