Esboce o gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Aqui o conteúdo é análise de gráfico de polinomial de grau 3: vamos precisar estudar domínio, monotonicidade, concavidade, simetria e alguns pontos-chave para orientar o esboço.
Passo 2
Domínio e simetria
- O domínio de
é todo o conjunto dos reais, ou seja, . - A função é ímpar, pois
logo o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Monotonicidade e derivada
Calculemos a derivada:
Calculemos a derivada:
Isso mostra que
é estritamente crescente (a derivada só zera em
, mas não muda de sinal), de modo que não há máximos ou mínimos locais.
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão
A segunda derivada é
A segunda derivada é
que muda de sinal em
. Portanto
- para
, (concavidade para baixo); - para
, (concavidade para cima).
Emhá um ponto de inflexão.
Passo 5
Pontos-âncora para o esboço
Vamos marcar alguns pontos simples:
Vamos marcar alguns pontos simples:
Com isso, sabemos que o gráfico passa por
,
,
,
e
, subindo suavemente e mudando de concavidade em
.
Resposta
O esboço de
é uma curva em “S” passando pela origem, simétrica ímpar, estritamente crescente, com concavidade para baixo à esquerda de
e para cima à direita. Traçando os pontos
,
,
,
e
, obtemos o gráfico pedido.