Seja
S=(x, y, z) in R^3: z=1raizx^2+y^2, 12 <= z <= 1
Calcule
integral duplaS 1z^2 raiz1+(x^2+y^2)^2 d S
Escolha uma opção:
32 pi
34 pi
pi2
3 pi
13 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a superfície S definida por:
S = (x, y, z) in R^3: z = 1raizx^2 + y^2, 12 <= z <= 1
Além disso, temos que calcular:
integral duplaS 1z^2 raiz1 + (x^2 + y^2)^2 , dS
Esse exercício envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e mudança de coordenadas para simplificar a resolução. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S . A equação z = 1raizx^2 + y^2 nos mostra que z está relacionado à distância do ponto (x, y) em relação à origem no plano xy . Para simplificar, vamos trocar para coordenadas polares, onde:
x = r cos theta e y = r sin theta
Assim, x^2 + y^2 = r^2 e a equação da superfície fica:
z = 1r

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Sabemos que 12 <= z <= 1 . Substituindo z por 1r , temos:
12 <= 1r <= 1 implies 1 <= r <= 2
E theta varia de 0 a 2pi , completando toda a volta no plano xy .

Passo 4

Precisamos também expressar o elemento de área dS na nova coordenada. Para uma superfície dada por z = f(r, theta) , temos:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta
Calculando as derivadas parciais de z = 1r :
partial zpartial r = -1r^2 e partial zpartial theta = 0
Então,
dS = raiz(-1r^2)^2 + 0 + 1 , r , dr , dtheta = raiz1r^4 + 1 , r , dr , dtheta = raiz1 + 1r^4 , r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integral duplaS 1z^2 raiz1 + (x^2 + y^2)^2 , dS = integral0^2pi integral1^2 1(1r)^2 raiz1 + r^4 cdot raiz1 + 1r^4 cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
1(1r)^2 = r^2 e raiz1 + 1r^4 = raiz1 + 1r^4
Então a integral fica:
integral0^2pi integral1^2 r^2raiz1 + r^4 cdot raiz1 + 1r^4 cdot r , dr , dtheta
Isso simplifica para:
integral0^2pi integral1^2 r^3 raiz1 + 1r^4raiz1 + r^4 , dr , dtheta
Observe que:
raiz1 + 1r^4 = raizr^4 + 1r^2 implies raiz1 + 1r^4raiz1 + r^4 = raizr^4 + 1r^2 raiz1 + r^4 = 1r^2
Portanto, a integral simplifica para:
integral0^2pi integral1^2 r^3r^2 , dr , dtheta = integral0^2pi integral1^2 r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos resolver as integrais:
Primeiro, a integral em r :
integral1^2 r , dr = [ r^22 ]1^2 = (2)^22 - (1)^22 = 42 - 12 = 32
Em seguida, a integral em theta :
integral0^2pi 32 , dtheta = 32 cdot (2pi - 0) = 32 cdot 2pi = 3pi

Resposta

A integral vale 3pi .

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