Seja
Calcule
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre a superfície
definida por:
Além disso, temos que calcular:
Esse exercício envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície e mudança de coordenadas para simplificar a resolução. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação
nos mostra que
está relacionado à distância do ponto
em relação à origem no plano
. Para simplificar, vamos trocar para coordenadas polares, onde:
Assim,
e a equação da superfície fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Sabemos que
. Substituindo
por
, temos:
E
varia de
a
, completando toda a volta no plano
.
Passo 4
Precisamos também expressar o elemento de área
na nova coordenada. Para uma superfície dada por
, temos:
Calculando as derivadas parciais de
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Simplificando:
Então a integral fica:
Isso simplifica para:
Observe que:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos resolver as integrais:
Primeiro, a integral em :
Primeiro, a integral em
Em seguida, a integral em
:
Resposta
A integral vale
.