Seja f(x)=x^2+1.
Faça o gráfico de f, reta tangente e normal no mesmo plano cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar, num mesmo plano, a parábola dada por
y = x^2 + 1
e as retas tangente e normal a essa curva em um ponto qualquer l(x0,f(x0)r). Para isso vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, a equação da normal, que é perpendicular à tangente.

Passo 2

Calculemos a derivada de f:
f'(x)=2x
Em um ponto genérico x0, a inclinação da reta tangente é f'(x0)=2x0, de modo que sua equação, em forma ponto-inclinação, é
y - f(x0) ;=; f'(x0),(x - x0),
isto é,
y - l(x0^2+1r) ;=; 2x0,(x - x0)

Passo 3

A reta normal é perpendicular à reta tangente, logo seu coeficiente angular é
mrm n ;=; -1f'(x0) ;=; -12x0
Em forma ponto-inclinação, a equação da normal em l(x0,f(x0)r) fica
y - l(x0^2+1r) ;=; -12x0,(x - x0)

Passo 4

Para tornar tudo concreto, escolha x0=1. Então
f(1)=1^2+1=2, f'(1)=2cdot1=2
A reta tangente em (1,2) é
y - 2 = 2,(x - 1) Longrightarrow y = 2x,
e a reta normal em (1,2) é
y - 2 = -tfrac12,(x - 1) Longrightarrow y = -tfrac12 x + tfrac52

Passo 5

Para desenhar tudo no mesmo plano cartesiano:
  1. Trace a parábola de vértice em (0,1) dada por y=x^2+1.
  2. Marque o ponto (1,2).
  3. Desenhe a reta tangente y=2x.
  4. Desenhe a reta normal y=-tfrac12x+tfrac52.

Resposta

As equações são:
Parábola: y=x^2+1, Tan>=nte em (1,2):y=2x, Normal em (1,2):y=-tfrac12x+tfrac52 á

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