Esboce o gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função polinomial
O conteúdo envolve analisar domínio, imagem, simetria, comportamento assintótico, monotonicidade e concavidade para montar o esboço.
Passo 2
Determine domínio, imagem e interceptos.
O domínio é todo o conjunto dos reais, isto é, .
Como para todo
, a imagem é
.
O único ponto em que é em
, logo o intercepto com os eixos é o ponto
.
O domínio é todo o conjunto dos reais, isto é,
Como
O único ponto em que
Passo 3
Verifique a paridade.
Como
Como
a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 4
Estude o comportamento em
.
Para e para
vale
Para
Portanto as duas “pontas” do gráfico sobem indefinidamente.
Passo 5
Análise da derivada para monotonicidade.
A derivada é
A derivada é
Observe que
– para ,
, logo
decresce em
;
– para ,
, logo
cresce em
.
Em há um mínimo global.
– para
– para
Em
Passo 6
Análise da segunda derivada para concavidade.
A segunda derivada é
A segunda derivada é
ou seja, o gráfico é sempre côncavo para cima (concavidade positiva) e não muda de concavidade.
Passo 7
Pontos notáveis e esboço.
Alguns pontos para orientar o desenho são
Alguns pontos para orientar o desenho são
Como a função é par, decresce até o mínimo em
e depois cresce, com concavidade para cima em toda parte.
Resposta
O gráfico de
é uma curva em “U” mais achatada próximo de
e com “braços” que sobem rapidamente para
, simétrica em relação ao eixo
e com mínimo global em
.