Esboce o gráfico das seguintes funções
j(x)=x^4

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função polinomial
j(x)=x^4
O conteúdo envolve analisar domínio, imagem, simetria, comportamento assintótico, monotonicidade e concavidade para montar o esboço.

Passo 2

Determine domínio, imagem e interceptos.
O domínio é todo o conjunto dos reais, isto é, R.
Como x^4>=0 para todo xinR, a imagem é [0,infty).
O único ponto em que j(x)=0 é em x=0, logo o intercepto com os eixos é o ponto (0,0).

Passo 3

Verifique a paridade.
Como
j(-x)=(-x)^4=x^4=j(x),
a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 4

Estude o comportamento em pminfty.
Para xto+infty e para xto-infty vale
j(x)=x^4to+infty
Portanto as duas “pontas” do gráfico sobem indefinidamente.

Passo 5

Análise da derivada para monotonicidade.
A derivada é
j'(x)=4x^3
Observe que
– para x<0, j'(x)=4x^3<0, logo j decresce em (-infty,0);
– para x>0, j'(x)=4x^3>0, logo j cresce em (0,infty).
Em x=0 há um mínimo global.

Passo 6

Análise da segunda derivada para concavidade.
A segunda derivada é
j''(x)=12x^2>=0forall x,
ou seja, o gráfico é sempre côncavo para cima (concavidade positiva) e não muda de concavidade.

Passo 7

Pontos notáveis e esboço.
Alguns pontos para orientar o desenho são
(-2,16),;(-1,1),;(0,0),;(1,1),;(2,16)
Como a função é par, decresce até o mínimo em (0,0) e depois cresce, com concavidade para cima em toda parte.

Resposta

O gráfico de j(x)=x^4 é uma curva em “U” mais achatada próximo de x=0 e com “braços” que sobem rapidamente para pminfty, simétrica em relação ao eixo y e com mínimo global em (0,0).

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