Esboce o gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função exponencial
Conteúdo: estudo de gráficos de funções elementares (função exponencial). Precisamos identificar domínio, imagem, intercepto com eixos, assimptota e comportamento geral (monotonia e concavidade).
Passo 2
Determinar domínio, imagem e intercepto:
– Domínio: todos os reais, isto é, .
– Imagem (contradomínio de saída): .
– Intercepto com o eixo : em
,
. Logo o ponto
.
– Domínio: todos os reais, isto é,
– Imagem (contradomínio de saída):
– Intercepto com o eixo
Passo 3
Encontrar assimptota e comportamento nos extremos usando limites:
Daqui vem a assimptota horizontal
quando
; para
, a curva cresce sem limites.
Passo 4
Analisar monotonia e concavidade via derivadas:
logo a função é estritamente crescente.
logo a curva é côncava para cima em todo o domínio.
Passo 5
Escolher pontos adicionais para guiar o esboço:
– Em ,
.
– Em ,
.
– Em
– Em
Com isso, marcamos no plano:
Assimptota horizontal
.
Ponto
.
Ponto
.
Ponto
.
Traçamos uma curva suave, sempre acima de
, crescente e côncava para cima.
Resposta
O gráfico de
é uma curva que:
– Passa por ,
e se aproxima de
à esquerda;
– É estritamente crescente e côncava para cima;
– Tem assimptota horizontal quando
e cresce sem limite quando
.
– Passa por
– É estritamente crescente e côncava para cima;
– Tem assimptota horizontal