Seja f(x)=1x^2
Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.

Passo 1

Temos a função f(x)=1x^2 e queremos a reta tangente e a reta normal no ponto de abscissa 1. Para isso, vamos usar derivada para obter o coeficiente angular e a fórmula ponto-inclinação para montar as retas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a ordenada desse ponto: f(1)=11^2=1. Logo, o ponto do gráfico é P(1,1). Em seguida, derivamos f(x)=x^-2:
f'(x)=-2x^-3=-2x^3

Passo 3

Agora, avaliamos a derivada em x=1 para achar o coeficiente angular da tangente:
mtan=f'(1)=-2

Passo 4

Com o coeficiente mtan=-2 e o ponto (1,1), aplicamos a fórmula ponto-inclinação:
y-1=-2(x-1)
que simplifica para
y=-2x+3

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente é mnorm=-1/mtan=1/2. Usando ponto-inclinação em (1,1):
y-1=tfrac12(x-1)
que dá
y=tfrac12x+tfrac12

Resposta

Reta tangente: y=-2x+3. Reta normal: y=tfrac12x+tfrac12.

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