Esboce o gráfico das seguintes funções:
Dica: Siga o seguinte roteiro:
I. Determine o domínio da função.
II. Calcule os interceptos x e y de
III. Ache, se possível, as assíntotas horizontais e verticais de
.
IV. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
V. Determine os máximos es mínimos locais de
.
VI. Encontre os intervalos em que
é côncava para cima e côncava para baixo e os pontos de inflexão.
VII. Faça uma tabela com os valores obtidos nos passos de a) a f) em conjunto com outros pontos que achar pertinente. Caso não tenha assíntotas horizontais, estude o comportamento de
em
.
VIII. Esboce o gráfico com os pontos encontrados.
Dica: Siga o seguinte roteiro:
I. Determine o domínio da função.
II. Calcule os interceptos x e y de
III. Ache, se possível, as assíntotas horizontais e verticais de
IV. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
V. Determine os máximos es mínimos locais de
VI. Encontre os intervalos em que
VII. Faça uma tabela com os valores obtidos nos passos de a) a f) em conjunto com outros pontos que achar pertinente. Caso não tenha assíntotas horizontais, estude o comportamento de
VIII. Esboce o gráfico com os pontos encontrados.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
seguindo roteiro de análise de curvas: domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, tabela resumida e esboço. Vamos usar derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Determinar o domínio. Como
é polinomial, seu domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Calcular os interceptos com os eixos.
– Intercepto em : em
,
– Intercepto em
logo ponto
.
– Interceptos em : resolver
– Interceptos em
Portanto zeros em
e
.
Passo 4
Procurar assíntotas e comportamento em
.
Como é polinomial não há assíntotas verticais nem horizontais. Para
, o termo dominante é
, logo
Como
Passo 5
Analisar crescimento e decrescimento via
.
As raízes críticas são
e
. Fazendo o quadro de sinais:
- Em
: e (crescente). - Em
: e (decrescente). - Em
: e (crescente). - Em
: e (decrescente).
Passo 6
Determinar máximos e mínimo locais. Pelas mudanças de sinal de
:
- Em
, passa de crescente para decrescente máximo local em .
- Em
, de decrescente para crescente mínimo local em . - Em
, de crescente para decrescente máximo local em .
Passo 7
Analisar concavidade e pontos de inflexão via
.
Resolver
.
– Para ,
côncava para cima.
– Para ,
côncava para baixo.
Os pontos de inflexão são
– Para
– Para
Os pontos de inflexão são
Passo 8
Tabela resumo dos pontos importantes:
Tipo |
|
|
---|---|---|
Zeros |
|
|
Máximos locais |
|
|
Mínimo local |
|
|
Pontos de inflexão |
|
|
Comportamento em
|
– |
|
Resposta
O gráfico de
é uma curva simétrica (função par) com três interceptos em
,
e
. Há dois máximos locais iguais em
e
e um mínimo local em
. Os pontos de inflexão ocorrem em
. A concavidade é para baixo fora de
e para cima dentro desse intervalo. Conforme
,
. O esboço exibe dois “picos” iguais nas abscissas
, um vale em
e decai para
nas caudas.