Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=8 x^2-x^4
Dica: Siga o seguinte roteiro:
I. Determine o domínio da função.
II. Calcule os interceptos x e y de f(x)
III. Ache, se possível, as assíntotas horizontais e verticais de f.
IV. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
V. Determine os máximos es mínimos locais de f.
VI. Encontre os intervalos em que f(x) é côncava para cima e côncava para baixo e os pontos de inflexão.
VII. Faça uma tabela com os valores obtidos nos passos de a) a f) em conjunto com outros pontos que achar pertinente. Caso não tenha assíntotas horizontais, estude o comportamento de f(x) em +infty e-infty.
VIII. Esboce o gráfico com os pontos encontrados.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=8x^2-x^4
seguindo roteiro de análise de curvas: domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, tabela resumida e esboço. Vamos usar derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Determinar o domínio. Como f é polinomial, seu domínio é todo o conjunto dos números reais:
Dom(f)=R

Passo 3

Calcular os interceptos com os eixos.
– Intercepto em y: em x=0,
f(0)=8cdot0^2-0^4=0,
logo ponto (0,0).
– Interceptos em x: resolver
8x^2-x^4=0;Longrightarrow;x^2(8-x^2)=0
implies x=0, x^2=8implies x=pm2raiz2
Portanto zeros em l(0,0r) e l(pm2raiz2,0r).

Passo 4

Procurar assíntotas e comportamento em pminfty.
Como f é polinomial não há assíntotas verticais nem horizontais. Para |x|toinfty, o termo dominante é -x^4, logo
f(x)sim -,x^4to -inftyquando xto pminfty

Passo 5

Analisar crescimento e decrescimento via f'(x).
f'(x)=16x-4x^3=4x,(4-x^2)
As raízes críticas são x=0 e x=pm2. Fazendo o quadro de sinais:
  • Em (-infty,-2): x<0 e 4-x^2<0 implies f'>0 (crescente).
  • Em (-2,0): x<0 e 4-x^2>0 implies f'<0 (decrescente).
  • Em (0,2): x>0 e 4-x^2>0 implies f'>0 (crescente).
  • Em (2,infty): x>0 e 4-x^2<0 implies f'<0 (decrescente).

Passo 6

Determinar máximos e mínimo locais. Pelas mudanças de sinal de f':
  • Em x=-2, passa de crescente para decrescente implies máximo local em l(-2,f(-2)r).
f(-2)=8cdot4-(-2)^4=32-16=16
  • Em x=0, de decrescente para crescente implies mínimo local em (0,0).
  • Em x=2, de crescente para decrescente implies máximo local em l(2,16r).

Passo 7

Analisar concavidade e pontos de inflexão via f''(x).
f''(x)=16-12x^2
Resolver f''(x)=0implies x^2=tfrac1612=tfrac43implies x=pm2raiz3.
– Para lvert xrvert<2/raiz3, f''(x)>0 implies côncava para cima.
– Para lvert xrvert>2/raiz3, f''(x)<0 implies côncava para baixo.
Os pontos de inflexão são
l(pmtfrac2raiz3,,f(pmtfrac2raiz3)r), fl(tfrac2raiz3r) =8cdottfrac43-l(tfrac43r)^2 =tfrac323-tfrac169=tfrac809

Passo 8

Tabela resumo dos pontos importantes:
Tipo x f(x)
Zeros -2raiz2,,0,,2raiz2 0
Máximos locais -2,,2 16
Mínimo local 0 0
Pontos de inflexão ,-2/raiz3,,2/raiz3 80/9
Comportamento em pminfty -infty

Resposta

O gráfico de f(x)=8x^2-x^4 é uma curva simétrica (função par) com três interceptos em l(-2raiz2,0r), (0,0) e l(2raiz2,0r). Há dois máximos locais iguais em (-2,16) e (2,16) e um mínimo local em (0,0). Os pontos de inflexão ocorrem em l(pm2/raiz3,80/9r). A concavidade é para baixo fora de l(-2/raiz3,2/raiz3r) e para cima dentro desse intervalo. Conforme xtopminfty, f(x)to-infty. O esboço exibe dois “picos” iguais nas abscissas pm2, um vale em x=0 e decai para -infty nas caudas.

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