Esboce o gráfico das seguintes funções:
Dica: Siga o seguinte roteiro:
I. Determine o domínio da função.
II. Calcule os interceptos x e y de
III. Ache, se possível, as assíntotas horizontais e verticais de
.
IV. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
V. Determine os máximos es mínimos locais de
.
VI. Encontre os intervalos em que
é côncava para cima e côncava para baixo e os pontos de inflexão.
VII. Faça uma tabela com os valores obtidos nos passos de a) a f) em conjunto com outros pontos que achar pertinente. Caso não tenha assíntotas horizontais, estude o comportamento de
em
.
VIII. Esboce o gráfico com os pontos encontrados.
Dica: Siga o seguinte roteiro:
I. Determine o domínio da função.
II. Calcule os interceptos x e y de
III. Ache, se possível, as assíntotas horizontais e verticais de
IV. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
V. Determine os máximos es mínimos locais de
VI. Encontre os intervalos em que
VII. Faça uma tabela com os valores obtidos nos passos de a) a f) em conjunto com outros pontos que achar pertinente. Caso não tenha assíntotas horizontais, estude o comportamento de
VIII. Esboce o gráfico com os pontos encontrados.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
seguindo um roteiro que envolve domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão, tabela resumo e, por fim, o desenho do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda, bem como resolução de equações polinomiais.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Como é um polinômio de grau
, ela está definida para todo
.
Como
Passo 3
Calcular os interceptos com os eixos.
Intercepto em : basta
, então
Intercepto em
Interceptos em
: resolver
, ou
As raízes da quadrática são
Logo os zeros são
Passo 4
Verificar assíntotas.
— Verticais: não há, pois não há denominador.
— Horizontais: como ,
, logo não há assíntotas horizontais.
Comportamento nas infindades:
— Verticais: não há, pois não há denominador.
— Horizontais: como
Comportamento nas infindades:
Passo 5
Estudar monotonicidade e extremos locais via
.
Zeramos:
dá
e
. Como é parábola com concavidade para cima, temos
Portanto
— cresce em e
,
— decresce em .
— cresce em
— decresce em
Passo 6
Identificar máximos e mínimos locais.
Em ,
muda de positivo para negativo
máximo local.
Em
Em
,
muda de negativo para positivo
mínimo local.
Logo
Passo 7
Estudar concavidade e ponto de inflexão via
.
A inflexão ocorre em
, ou seja
.
— Para ,
côncava para baixo.
— Para ,
côncava para cima.
Ponto de inflexão:
— Para
— Para
Ponto de inflexão:
Passo 8
Tabela resumo dos pontos e sinais de
e
:
Interpretação:
— Cresce até , atinge máximo em
, depois decresce até
(mínimo em
), depois cresce.
— Côncava para baixo até , depois para cima.
— Cresce até
— Côncava para baixo até
Passo 9
Esboço final do gráfico:
— Três interceptos em ,
,
.
— Máximo em , mínimo em
.
— Inflection em .
— Sobe no , atinge máximo, desce passando pelo inflexão em
, atinge mínimo, e sobe no
.
— Três interceptos em
— Máximo em
— Inflection em
— Sobe no
Resposta
O gráfico de
é o de um cúbico que:
(a) cresce em , decresce em
, cresce em
;
(b) tem máximo local em e mínimo local em
;
(c) é côncavo para baixo em , côncavo para cima em
com ponto de inflexão em
;
(d) interceptos em e em
.
O esboço segue a forma clássica de um polinômio de grau com essas características.
(a) cresce em
(b) tem máximo local em
(c) é côncavo para baixo em
(d) interceptos em
O esboço segue a forma clássica de um polinômio de grau