Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x^3-3 x^2-45 x
Dica: Siga o seguinte roteiro:
I. Determine o domínio da função.
II. Calcule os interceptos x e y de f(x)
III. Ache, se possível, as assíntotas horizontais e verticais de f.
IV. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
V. Determine os máximos es mínimos locais de f.
VI. Encontre os intervalos em que f(x) é côncava para cima e côncava para baixo e os pontos de inflexão.
VII. Faça uma tabela com os valores obtidos nos passos de a) a f) em conjunto com outros pontos que achar pertinente. Caso não tenha assíntotas horizontais, estude o comportamento de f(x) em +infty e-infty.
VIII. Esboce o gráfico com os pontos encontrados.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^3-3x^2-45x
seguindo um roteiro que envolve domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão, tabela resumo e, por fim, o desenho do gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda, bem como resolução de equações polinomiais.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Como f é um polinômio de grau 3, ela está definida para todo xinR.
Domínio = (-infty,infty) í

Passo 3

Calcular os interceptos com os eixos.
Intercepto em y: basta x=0, então
f(0)=0Longrightarrow(0,0)
Interceptos em x: resolver f(x)=0, ou
xl(x^2-3x-45r)=0 ;Longrightarrow;x=0 ou x^2-3x-45=0
As raízes da quadrática são
x=3pmraiz9+1802 =3pm3raiz212 approx -5,37e8,37
Logo os zeros são
xapprox -5,37,;0,;8,37

Passo 4

Verificar assíntotas.
— Verticais: não há, pois não há denominador.
— Horizontais: como deg f=3, limxtopminftyf(x)=pminfty, logo não há assíntotas horizontais.
Comportamento nas infindades:
limxto-inftyf(x)=-infty, limxto+inftyf(x)=+infty

Passo 5

Estudar monotonicidade e extremos locais via f'(x).
f'(x)=3x^2-6x-45 =3l(x^2-2x-15r)
Zeramos: x^2-2x-15=0 x=-3 e x=5. Como é parábola com concavidade para cima, temos
f'(x)>0 em (-infty,-3)cup(5,infty), f'(x)<0 em (-3,5)
Portanto
— cresce em (-infty,-3) e (5,infty),
— decresce em (-3,5).

Passo 6

Identificar máximos e mínimos locais.
Em x=-3, f' muda de positivo para negativo to máximo local.
f(-3)=(-3)^3-3(-3)^2-45(-3)= -27-27+135=81
Em x=5, f' muda de negativo para positivo to mínimo local.
f(5)=125-75-225=-175
Logo
Máximo local em (-3,81), Mínimo local em (5,-175) áí

Passo 7

Estudar concavidade e ponto de inflexão via f''(x).
f''(x)=6x-6
A inflexão ocorre em 6x-6=0, ou seja x=1.
— Para x<1, f''(x)<0 to côncava para baixo.
— Para x>1, f''(x)>0 to côncava para cima.
Ponto de inflexão:
f(1)=1-3-45=-47Longrightarrow(1,-47)

Passo 8

Tabela resumo dos pontos e sinais de f' e f'':
c|c|c|c x & f(x) & f'(x) & f''(x) hline -5,37 & 0 & + & - -3 & 81 & 0 & - 1 & -47 & - & 0 5 & -175 & 0 & + 8,37 & 0 & + & +
Interpretação:
— Cresce até -3, atinge máximo em (-3,81), depois decresce até 5 (mínimo em (5,-175)), depois cresce.
— Côncava para baixo até x=1, depois para cima.

Passo 9

Esboço final do gráfico:
— Três interceptos em (-5,37,0), (0,0), (8,37,0).
— Máximo em (-3,81), mínimo em (5,-175).
— Inflection em (1,-47).
— Sobe no xto-infty, atinge máximo, desce passando pelo inflexão em (1,-47), atinge mínimo, e sobe no xto+infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^3-3x^2-45x é o de um cúbico que:
(a) cresce em (-infty,-3), decresce em (-3,5), cresce em (5,infty);
(b) tem máximo local em (-3,81) e mínimo local em (5,-175);
(c) é côncavo para baixo em (-infty,1), côncavo para cima em (1,infty) com ponto de inflexão em (1,-47);
(d) interceptos em xapprox -5,37,0,8,37 e em y=0.
O esboço segue a forma clássica de um polinômio de grau 3 com essas características.

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