Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=x+1x-1
Dica: Siga o seguinte roteiro:
I. Determine o domínio da função.
II. Calcule os interceptos x e y de f(x)
III. Ache, se possível, as assíntotas horizontais e verticais de f.
IV. Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
V. Determine os máximos es mínimos locais de f.
VI. Encontre os intervalos em que f(x) é côncava para cima e côncava para baixo e os pontos de inflexão.
VII. Faça uma tabela com os valores obtidos nos passos de a) a f) em conjunto com outros pontos que achar pertinente. Caso não tenha assíntotas horizontais, estude o comportamento de f(x) em +infty e-infty.
VIII. Esboce o gráfico com os pontos encontrados.

Passo 1

Enunciado: Esboçar o gráfico de f(x)=x+1x-1.
Conteúdo: estudo de função racional – domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão, tabela de valores e esboço do gráfico.

Passo 2

Domínio: o denominador não pode ser zero, ou seja
x-1neq0;;Rightarrow;;xneq1
Logo o domínio é Rsetminus1.

Passo 3

Interceptos:
Para intercepto em x, ponha f(x)=0:
x+1x-1=0;Rightarrow;x+1=0;Rightarrow;x=-1,
logo há ponto (-1,0).
Para intercepto em y, ponha x=0:
f(0)=0+10-1=-1,
logo (0,-1).

Passo 4

Assíntotas:
Vertical em x=1.
Horizontal obtida por
limxtopminftyx+1x-1 =limxtopminfty1+1/x1-1/x=1,
portanto y=1.

Passo 5

Monotonicidade e extremos:
f'(x) =(x-1)-(x+1)(x-1)^2 =-2(x-1)^2<0 forall xneq1
Logo f é estritamente decrescente em cada intervalo do domínio e não tem extremos locais.

Passo 6

Concavidade e inflexão:
f''(x) =ddxl(-2(x-1)^-2r) =4(x-1)^-3 =4(x-1)^3
Para x<1, f''(x)<0 (côncava para baixo); para x>1, f''(x)>0 (côncava para cima).
Não há ponto de inflexão no domínio, pois o sinal de f'' só muda em x=1, que não pertence ao domínio.

Passo 7

Tabela de valores:
Para x<1:
x=-2, f(-2)=tfrac13;\quad
x=-1, f(-1)=0;\quad
x=0, f(0)=-1.
Para x>1:
x=2, f(2)=3;\quad
x=3, f(3)=2;\quad
x=5, f(5)=1,5.

Passo 8

Esboço do gráfico:
– Ramo para x<1: decrescente e côncavo para baixo, sai de yto1 quando xto-infty, passa por (-1,0) e (0,-1), e vai a yto-infty quando xto1^-.
– Ramo para x>1: decrescente e côncavo para cima, sai de yto+infty quando xto1^+, passa por (2,3) e (3,2), e se aproxima de yto1 quando xto+infty.
As assíntotas são x=1 (vertical) e y=1 (horizontal).

Resposta

O gráfico de f(x)=x+1x-1 é uma hipérbole com assíntotas em x=1 e y=1, interceptos em (-1,0) e (0,-1), estritamente decrescente, côncava para baixo em x<1 e para cima em x>1, sem extremos ou pontos de inflexão no domínio.

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