Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
. Aqui estamos lidando com funções logarítmicas e, para isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural funciona e como ele se comporta quando é multiplicado por
. Vamos seguir passo a passo para entender melhor essa função e conseguir desenhar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo natural,
, só está definido para
. Portanto, nossa função
também está definida apenas para
.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de
para alguns valores de
dentro do domínio. Isso nos ajudará a ter pontos para desenhar o gráfico.
- Para
:
- Para
(onde é aproximadamente 2.718):
- Para
:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para entender como o gráfico se comporta quando
se aproxima de 0 e quando
cresce sem limite.
- Quando
se aproxima de 0 ( ):
Mas como
também está se aproximando de 0, temos uma forma do tipo
. Utilizando limites, podemos ver que:
Então, o gráfico se aproxima do ponto (0, 0) por esse lado.
- Quando
tende ao infinito ( ):
E como
também tende ao infinito, temos que
tende ao infinito. Então, o gráfico cresce sem limites para a direita.
Passo 5
Vamos determinar se há algum ponto de máximo ou mínimo na função. Para isso, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
e igualá-la a zero.
A derivada de
é:
Igualando a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Calculando
nesse ponto:
Esse ponto é um mínimo local, já que a derivada muda de negativa para positiva nesse ponto.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico:
- A função está definida para
. - Passa pelo ponto (1, 0).
- Tem um mínimo local em
. - Quando
se aproxima de 0, também se aproxima de 0. - Quando
tende ao infinito, também tende ao infinito.
Resposta
O gráfico da função
apresenta um mínimo local em
, passa pela origem
, e cresce indefinidamente para a direita. O domínio é
e o gráfico se aproxima do ponto (0, 0) quando
se aproxima de 0. Assim, o esboço reflete esses comportamentos com a curva descendo até o mínimo e depois subindo continuamente.