Esboce o gráfico das seguintes funções logarítmicas:
d) y=x ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função y = x ln(x) . Aqui estamos lidando com funções logarítmicas e, para isso, vamos precisar entender como o logaritmo natural funciona e como ele se comporta quando é multiplicado por x . Vamos seguir passo a passo para entender melhor essa função e conseguir desenhar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função. O logaritmo natural, ln(x) , só está definido para x > 0 . Portanto, nossa função y = x ln(x) também está definida apenas para x > 0 .

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores de y para alguns valores de x dentro do domínio. Isso nos ajudará a ter pontos para desenhar o gráfico.
  • Para x = 1 :
y = 1 cdot ln(1) = 1 cdot 0 = 0
  • Para x = e (onde e é aproximadamente 2.718):
y = e cdot ln(e) = e cdot 1 = e approx 2.718
  • Para x = 1e :
y = 1e cdot ln(1e) = 1e cdot (-1) = -1e approx -0.368

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para entender como o gráfico se comporta quando x se aproxima de 0 e quando x cresce sem limite.
  • Quando x se aproxima de 0 ( x to 0^+ ):
ln(x) to -infty
Mas como x também está se aproximando de 0, temos uma forma do tipo 0 cdot (-infty) . Utilizando limites, podemos ver que:
limx to 0^+ x ln(x) = 0
Então, o gráfico se aproxima do ponto (0, 0) por esse lado.
  • Quando x tende ao infinito ( x to +infty ):
ln(x) to +infty
E como x também tende ao infinito, temos que y = x ln(x) tende ao infinito. Então, o gráfico cresce sem limites para a direita.

Passo 5

Vamos determinar se há algum ponto de máximo ou mínimo na função. Para isso, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x e igualá-la a zero.
A derivada de y = x ln(x) é:
y' = ln(x) + 1
Igualando a derivada a zero:
ln(x) + 1 = 0 implies ln(x) = -1 implies x = e^-1 = 1e
Então, temos um ponto crítico em x = 1e .
Calculando y nesse ponto:
y = 1e cdot ln(1e) = 1e cdot (-1) = -1e approx -0.368
Esse ponto é um mínimo local, já que a derivada muda de negativa para positiva nesse ponto.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos desenhar o gráfico:
  • A função está definida para x > 0 .
  • Passa pelo ponto (1, 0).
  • Tem um mínimo local em (1e, -1e) .
  • Quando x se aproxima de 0, y também se aproxima de 0.
  • Quando x tende ao infinito, y também tende ao infinito.

Resposta

O gráfico da função y = x ln(x) apresenta um mínimo local em (1e, -1e) , passa pela origem (1, 0) , e cresce indefinidamente para a direita. O domínio é x > 0 e o gráfico se aproxima do ponto (0, 0) quando x se aproxima de 0. Assim, o esboço reflete esses comportamentos com a curva descendo até o mínimo e depois subindo continuamente.

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