Seja
um caminho, cuja curvatura é
. Defina o caminho
, onde
é uma constante Prove que a curvatura
de
é
Use isso para provar que a curvatura do círculo de raio
é
.
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição de curvatura de um caminho
, que é dada por
, e mostrar que ao escalarmos o caminho por uma constante
a curvatura escala como
.
Primeiro calculamos as derivadas de
. Como
é constante, vale
Substituindo na definição de curvatura:
Passo 2
Passo 3
Assumindo
(caso contrário só muda o sinal, mas curvatura é ângulo sem orientação), fica
.
Passo 4
Para o círculo de raio
, basta notar que o círculo unitário
tem
. Escalando por
obtemos o círculo de raio
e, pela propriedade, sua curvatura é
.
Resposta
Pela definição de curvatura e a propriedade de escala,
. Em particular, para o círculo de raio
obtemos
.