Seja r(t)=(x(t), y(t), z(t)) um caminho, cuja curvatura é kappa(t). Defina o caminho r1(t)=(lambda x(t), lambda y(t), lambda z(t)), onde lambda neq 0 é uma constante Prove que a curvatura kappa1(t) de r1(t) é
kappa1(t)=1lambda kappa(t)
Use isso para provar que a curvatura do círculo de raio R é 1R.

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de curvatura de um caminho r(t), que é dada por kappa(t)=|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3, e mostrar que ao escalarmos o caminho por uma constante lambdaneq0 a curvatura escala como 1/lambda.
Primeiro calculamos as derivadas de r1(t)=lambda,r(t). Como lambda é constante, vale r1'(t)=lambda,r'(t), r1''(t)=lambda,r''(t) Substituindo na definição de curvatura:

Passo 2

kappa1(t)=|r1'(t)times r1''(t)||r1'(t)|^3 =|lambda r'(t)times lambda r''(t)||lambda r'(t)|^3 =|lambda|^2,|r'(t)times r''(t)||lambda|^3,|r'(t)|^3 =1|lambda|,kappa(t)

Passo 3

Assumindo lambda>0 (caso contrário só muda o sinal, mas curvatura é ângulo sem orientação), fica kappa1(t)=tfrac1lambda,kappa(t).

Passo 4

Para o círculo de raio R, basta notar que o círculo unitário r0(t)=(cos t,sin t,0) tem kappa0=1. Escalando por lambda=R obtemos o círculo de raio R e, pela propriedade, sua curvatura é 1/R.

Resposta

Pela definição de curvatura e a propriedade de escala, kappa1(t)=tfrac1lambda,kappa(t). Em particular, para o círculo de raio R obtemos kappa=tfrac1R.

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