Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
usando as curvas de nível. O conteúdo envolvido é estudarmos superfícies em
por meio de curvas de nível (níveis de altura) no plano
e, a partir delas, visualizar a forma da superfície
.
Passo 2
Para cada valor constante
, a curva de nível de altitude
é o conjunto
Esse é o traço de uma elipse no plano
. Mais precisamente, dividindo por
:
ou seja, semieixo em
de comprimento
e semieixo em
de comprimento
.
Passo 3
Escolhendo alguns níveis, por exemplo
, obtemos:
– Para
: um ponto
.
– Para : elipse
com eixos
em
e
em
.
– Para : elipse
com eixos
em
e
em
.
– Para : elipse
com eixos
em
e
em
.
– Para
– Para
– Para
Desenhe essas elipses no plano
, cada uma correspondendo à altura
.
Passo 4
Agora elevamos cada elipse até a altura
. Ao empilhar essas elipses de raios crescentes conforme
aumenta, vemos que a superfície resultante é um paraboloide elíptico que se abre para cima. Na direção
o alargamento é mais lento (fator
dentro de
), então a “gordura” da bacia é menor em
.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico definido por
cuja seção de nível
é a elipse
. Ele se abre para cima, mais “esticado” na direção
do que em
.