Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x,y)=x^{2}+4y^{2}
usando as curvas de nível. O conteúdo envolvido é estudarmos superfícies em \mathbb{R}^{3} por meio de curvas de nível (níveis de altura) no plano (x,y) e, a partir delas, visualizar a forma da superfície z=f(x,y).

Passo 2

Para cada valor constante k\ge0, a curva de nível de altitude k é o conjunto
\{(x,y)\mid f(x,y)=k\} \;\Longrightarrow\; x^{2}+4y^{2}=k.
Esse é o traço de uma elipse no plano (x,y). Mais precisamente, dividindo por k:
\frac{x^{2}}{k}+\frac{y^{2}}{k/4}=1,
ou seja, semieixo em x de comprimento \sqrt{k} e semieixo em y de comprimento \sqrt{k/4}=\tfrac{\sqrt{k}}{2}.

Passo 3

Escolhendo alguns níveis, por exemplo k=0,\,1,\,4,\,9, obtemos:
– Para k=0: um ponto (0,0).
– Para k=1: elipse \tfrac{x^{2}}{1}+\tfrac{y^{2}}{1/4}=1 com eixos \sqrt{1}=1 em x e \tfrac12 em y.
– Para k=4: elipse \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{1}=1 com eixos 2 em x e 1 em y.
– Para k=9: elipse \tfrac{x^{2}}{9}+\tfrac{y^{2}}{9/4}=1 com eixos 3 em x e \tfrac32 em y.
Desenhe essas elipses no plano (x,y), cada uma correspondendo à altura z=k.

Passo 4

Agora elevamos cada elipse até a altura z=k. Ao empilhar essas elipses de raios crescentes conforme k aumenta, vemos que a superfície resultante é um paraboloide elíptico que se abre para cima. Na direção y o alargamento é mais lento (fator 4 dentro de f), então a “gordura” da bacia é menor em y.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico definido por
z = x^{2} + 4y^{2},
cuja seção de nível z=k é a elipse \tfrac{x^{2}}{k}+\tfrac{y^{2}}{k/4}=1. Ele se abre para cima, mais “esticado” na direção x do que em y.

Exercícios relacionados