Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=x^2(x-3)(x+2)(x^2-1)

Passo 1

Temos a função racional y=dfracx^2(x-3)(x+2)(x^2-1). O conteúdo aqui é esboço de gráfico de funções racionais: vamos precisar determinar domínio, assíntotas, interceptos, sinal da função e comportamento frente às assíntotas para depois desenhar o esboço.

Passo 2

O primeiro passo é achar o domínio e as assíntotas verticais. O denominador se anula em x=3, x=-2, x=1 e x=-1. Logo, o domínio é xin Rsetminus-2,-1,1,3 e há assíntotas verticais em cada uma dessas abscissas.

Passo 3

Para achar a assíntota horizontal, avaliamos o limite quando xtopminfty. Como o grau do numerador é 2 e o do denominador é 4, temos
limxtopminfty y = 0 Isso significa que y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Agora, o intercepto com o eixo x ocorre onde y=0, ou seja, numerador nulo: x^2=0 x=0. E o intercepto com o eixo y também é y(0)=0.

Passo 5

Para entender onde a função é positiva ou negativa, fazemos um quadro de sinais usando os pontos críticos -infty,-2,-1,0,1,3,+infty. Testando um valor em cada intervalo, achamos:
-infty,-2): negativo;”
-2,-1): positivo;”
-1,0): negativo;”
0,1): negativo;”
1,3): positivo;”
3,+infty): positivo.”

Passo 6

Em seguida, estudamos os limites laterais perto de cada assíntota vertical para ver se a função vai a +infty ou -infty de cada lado. Esse passo é técnico, mas garante o formato do esboço.

Passo 7

Por fim, combinamos assíntotas, intercepto em 0,0, sinais e comportamentos próximos às assíntotas para desenhar o esboço do gráfico. Traduzimos tudo em um rascunho indicando as regiões acima e abaixo do eixo x, com as linhas verticais x=-2,-1,1,3 e a horizontal y=0 como guias.

Resposta

O gráfico é um esboço de função racional com: domínio em Rsetminus-2,-1,1,3, assíntotas verticais em x=-2,-1,1,3 e assíntota horizontal y=0; intercepto único em (0,0); a função é negativa em (-1,0), (0,1), (-2,-1) e positiva em (1,3), (3,+infty), 0,0. Comportamento típico de racionais em cada região, aproximando-se das assíntotas e cruzando o ponto .

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