Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Temos a função racional
. O conteúdo aqui é esboço de gráfico de funções racionais: vamos precisar determinar domínio, assíntotas, interceptos, sinal da função e comportamento frente às assíntotas para depois desenhar o esboço.
Passo 2
O primeiro passo é achar o domínio e as assíntotas verticais. O denominador se anula em
,
,
e
. Logo, o domínio é
e há assíntotas verticais em cada uma dessas abscissas.
Passo 3
Para achar a assíntota horizontal, avaliamos o limite quando
. Como o grau do numerador é 2 e o do denominador é 4, temos
Passo 4
Agora, o intercepto com o eixo
ocorre onde
, ou seja, numerador nulo:
dá
. E o intercepto com o eixo
também é
.
Passo 5
Para entender onde a função é positiva ou negativa, fazemos um quadro de sinais usando os pontos críticos
. Testando um valor em cada intervalo, achamos:
“ : negativo;”
“ : positivo;”
“ : negativo;”
“ : negativo;”
“ : positivo;”
“ : positivo.”
“
“
“
“
“
“
Passo 6
Em seguida, estudamos os limites laterais perto de cada assíntota vertical para ver se a função vai a
ou
de cada lado. Esse passo é técnico, mas garante o formato do esboço.
Passo 7
Por fim, combinamos assíntotas, intercepto em
, sinais e comportamentos próximos às assíntotas para desenhar o esboço do gráfico. Traduzimos tudo em um rascunho indicando as regiões acima e abaixo do eixo
, com as linhas verticais
e a horizontal
como guias.
Resposta
O gráfico é um esboço de função racional com: domínio em
, assíntotas verticais em
e assíntota horizontal
; intercepto único em
; a função é negativa em
,
,
e positiva em
,
,
. Comportamento típico de racionais em cada região, aproximando-se das assíntotas e cruzando o ponto
.