Questão 7. Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x y}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x y}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo envolve limites em duas variáveis e será útil o Teorema do Aperto (squeeze theorem).

Passo 2

Note que \sqrt{x y} está definido (real) apenas se x y\ge0. Logo trabalhamos nas regiões em que x e y têm o mesmo sinal ou em que um deles é zero. Ainda assim, basta mostrar que o valor da expressão tende a zero em todas essas direções.

Passo 3

Para x y\ge0 usamos a desigualdade de média aritmética–geométrica:
x y \le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Tomando raiz, segue
0 \le \sqrt{x y} \le \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}.

Passo 4

Defina r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então
0 \le \sqrt{x^{2}+y^{2}} + \sqrt{x y} \le r + \sqrt{\frac{r^{2}}{2}} = r + \frac{r}{\sqrt{2}} = r\Bigl(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 5

Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}r = 0, pelo Teorema do Aperto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\Bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}} + \sqrt{x y}\Bigr) = 0.

Resposta

0

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