Questão 7. Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} 2 x y+y^{2}+\frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=2xy+y^{2}+\frac{x}{y}
quando (x,y)\to(1,2). O conteúdo envolvido é o uso de continuidade de funções de duas variáveis para calcular limites por substituição.

Passo 2

Observamos que, em um entorno de (1,2), temos y\neq0, ou seja, o termo \frac{x}{y} está bem definido nessa vizinhança. Logo, f é contínua em (1,2) e podemos aplicar o teorema que permite trocar limite por valor da função:
\lim_{(x,y)\to(1,2)}f(x,y)=f(1,2).

Passo 3

Calculamos cada termo de f(1,2):
2\cdot1\cdot2 = 4,
2^{2} = 4,
\frac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Somando os resultados acima, temos
f(1,2)=4 + 4 + \tfrac{1}{2} = 8 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{17}{2}.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(1,2)}\Bigl(2xy+y^{2}+\tfrac{x}{y}\Bigr)=\tfrac{17}{2}.

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