Esboce o gráfico das seguintes funções:
Sugestão: Complete o quadrado em relação a
e em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função z = 3x^2 + 3y^2 – 6x + 12y + 15. O conteúdo envolvido é superfícies quadráticas, mais especificamente um paraboloide elíptico. Para resolver, vamos completar o quadrado nas variáveis x e y.
Passo 2
Primeiro agrupamos os termos em x e em y para facilitar o completo do quadrado:
Passo 3
Agora completamos o quadrado em cada parêntese:
Substituindo na expressão de z temos:
Que simplifica para
Passo 4
A forma final z = 3(x - 1)^2 + 3(y + 2)^2 corresponde a um paraboloide elíptico com vértice em (1, –2, 0), abertura para cima e seções horizontais z = c dadas por círculos de raio
.
Resposta
O gráfico é um paraboloide elíptico de equação z = 3(x – 1)^2 + 3(y + 2)^2, com vértice em (1, –2, 0) e abertura para cima; as seções z = const são círculos de raio
.