Esboce o gráfico das seguintes funções:
z=3 x^2+3 y^2-6 x+12 y+15
Sugestão: Complete o quadrado em relação a x e em relação a y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função z = 3x^2 + 3y^2 – 6x + 12y + 15. O conteúdo envolvido é superfícies quadráticas, mais especificamente um paraboloide elíptico. Para resolver, vamos completar o quadrado nas variáveis x e y.

Passo 2

Primeiro agrupamos os termos em x e em y para facilitar o completo do quadrado:
z = 3l(x^2 - 2xr) + 3l(y^2 + 4yr) + 15

Passo 3

Agora completamos o quadrado em cada parêntese:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1,
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
Substituindo na expressão de z temos:
z = 3l((x - 1)^2 - 1r) + 3l((y + 2)^2 - 4r) + 15
Que simplifica para
z = 3(x - 1)^2 + 3(y + 2)^2 - 3 - 12 + 15 = 3(x - 1)^2 + 3(y + 2)^2

Passo 4

A forma final z = 3(x - 1)^2 + 3(y + 2)^2 corresponde a um paraboloide elíptico com vértice em (1, –2, 0), abertura para cima e seções horizontais z = c dadas por círculos de raio raizc/3.

Resposta

O gráfico é um paraboloide elíptico de equação z = 3(x – 1)^2 + 3(y + 2)^2, com vértice em (1, –2, 0) e abertura para cima; as seções z = const são círculos de raio raizconstante/3.

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