Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
\ddot{x}+2 \dot{x}+2 x=0, x(0)=0, \dot{x}(0)=1

Passo 1

Temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{x} + 2\dot{x} + 2x = 0,
sujeita às condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=1.
O conteúdo envolvido é o método de resolução via equação característica, raízes complexas e comportamento de oscilação amortecida.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 2 = 0.
Calculando as raízes,
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i.

Passo 3

Como as raízes são r=-1\pm i, a solução geral é
x(t) = e^{-t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr).
Usando x(0)=0
x(0) = A = 0.
Derivando,
\dot{x}(t) = -e^{-t}(A\cos t + B\sin t) + e^{-t}(-A\sin t + B\cos t),
e impondo \dot{x}(0)=1 com A=0 resulta em
\dot{x}(0) = B = 1.
Logo a solução particular é
x(t) = e^{-t}\sin t.

Passo 4

A curva de x(t)=e^{-t}\sin t é uma senoide amortecida cujo envelope superior e inferior são \pm e^{-t}.
– Começa em x(0)=0.
– Zera em t = n\pi, n=0,1,2,\dots.
– Máximo local em t=\tfrac{\pi}{2} de valor e^{-\pi/2}.
A amplitude decai exponencialmente, de modo que as oscilações vão se tornando cada vez menores conforme t cresce.

Resposta

A solução é
x(t) = e^{-t}\sin t,
e seu gráfico é uma oscilação amortecida com amplitude decrescente no envelope \pm e^{-t}.

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