Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Passo 1
Temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
O conteúdo envolvido é o método de resolução via equação característica, raízes complexas e comportamento de oscilação amortecida.
O conteúdo envolvido é o método de resolução via equação característica, raízes complexas e comportamento de oscilação amortecida.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada:
Calculando as raízes,
Passo 3
Como as raízes são
, a solução geral é
Usando
dá
Derivando,
e impondo
com
resulta em
Logo a solução particular é
Passo 4
A curva de
é uma senoide amortecida cujo envelope superior e inferior são
.
– Começa em .
– Zera em ,
.
– Máximo local em de valor
.
A amplitude decai exponencialmente, de modo que as oscilações vão se tornando cada vez menores conforme cresce.
– Começa em
– Zera em
– Máximo local em
A amplitude decai exponencialmente, de modo que as oscilações vão se tornando cada vez menores conforme
Resposta
A solução é
e seu gráfico é uma oscilação amortecida com amplitude decrescente no envelope
.