Resolva as equações.
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y}{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{y}.
Note que o lado direito é função de \tfrac{y}{x}, ou seja, a equação é homogênea. O método padrão é usar a substituição
y = u\,x,
onde u é função de x.

Passo 2

Com y = u\,x temos
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo em \tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2x - y}{y}
u + x\frac{du}{dx} = \frac{2x - u\,x}{u\,x} = \frac{2 - u}{u}.
Isolando du/dx:
x\frac{du}{dx} = \frac{2 - u}{u} - u = -\,\frac{u^2 + u - 2}{u} = -\,\frac{(u+2)(u-1)}{u}.

Passo 3

Separamos variáveis em
\frac{u}{(u+2)(u-1)}\,du = -\frac{dx}{x}.
Fazendo a decomposição em frações parciais
\frac{u}{(u+2)(u-1)} = \frac{A}{u+2} + \frac{B}{u-1},
vem
u = A(u-1) + B(u+2)\quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac{2}{3},\;B=\tfrac{1}{3}.
Logo
\int\frac{u}{(u+2)(u-1)}\,du = \frac{2}{3}\int\frac{du}{u+2} + \frac{1}{3}\int\frac{du}{u-1} = \frac{2}{3}\ln|u+2| + \frac{1}{3}\ln|u-1|.
Do outro lado,
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C.
Assim
\frac{2}{3}\ln|u+2| + \frac{1}{3}\ln|u-1| = -\ln|x| + C.

Passo 4

Multiplicando tudo por 3 e exponenciando obtemos
2\ln|u+2| + \ln|u-1| = -3\ln|x| + C' \quad\Longrightarrow\quad (u+2)^2\,(u-1) = \frac{K}{x^3},
onde K=e^{C'}. Voltando a u=y/x:
\biggl(\frac{y}{x}+2\biggr)^2\!\!\biggl(\frac{y}{x}-1\biggr) = \frac{K}{x^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{(y+2x)^2\,(y-x)}{x^3} = \frac{K}{x^3}
e, portanto, a solução geral implícita é
(y+2x)^2\,(y-x) = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

(y+2x)^2\,(y - x) = C.

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