Resolva as equações.
\frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{x}

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{x + 2y}{x}.
O conteúdo da matéria é equações lineares de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} - \frac{2}{x}\,y = 1.
Aqui identificamos P(x) = -\tfrac{2}{x} e Q(x)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-2\ln|x|\bigr) = x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por \mu(x)=x^{-2}, obtendo
x^{-2}\frac{dy}{dx} - 2x^{-3}y = x^{-2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}y\bigr).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}y\bigr) = x^{-2} \quad\Longrightarrow\quad x^{-2}y = \int x^{-2}\,dx = -\,x^{-1} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por x^2:
y = -\,x + C\,x^2.
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

y = C\,x^2 - x, onde C é constante arbitrária.

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