Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
O conteúdo necessário é o método da equação característica para resolver ODEs homogeneias de segunda ordem.
Passo 2
Formamos a equação característica substituindo
:
O discriminante é
, logo há raiz dupla.
Passo 3
Como a raiz é
com multiplicidade 2, a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Usamos as condições iniciais. Primeiro, em
:
Em seguida, derivamos
e impomos
:
Passo 5
Substituindo
, obtemos a solução particular
Analisando o comportamento:
– Em ,
e
, ou seja, ponto de máximo inicial com tangente horizontal.
– Para ,
, então
decai monotonamente.
– Quando ,
, com decaimento exponencial.
– A concavidade muda em (ponto de inflexão).
– Em
– Para
– Quando
– A concavidade muda em
Resposta
A solução é
cujo esboço é uma curva que parte de
com tangente horizontal, decai monotonicamente e assintoticamente para zero, apresentando ponto de inflexão em
.