Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
\ddot{x}+2 \dot{x}+x=0, x(0)=1, \dot{x}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{x}+2\dot{x}+x=0,
sujeita às condições iniciais
x(0)=1,\quad \dot{x}(0)=0.
O conteúdo necessário é o método da equação característica para resolver ODEs homogeneias de segunda ordem.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo x(t)=e^{rt}:
r^2 + 2r + 1 = 0.
O discriminante é \Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot1 = 0, logo há raiz dupla.

Passo 3

Como a raiz é r=-1 com multiplicidade 2, a solução geral é
x(t) = \bigl(A + B\,t\bigr)e^{-t},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Usamos as condições iniciais. Primeiro, em t=0:
x(0)=A\cdot e^0 = A = 1.
Em seguida, derivamos
\dot{x}(t) = \frac{d}{dt}\bigl[(A + B\,t)e^{-t}\bigr] = \bigl(B - (A+B\,t)\bigr)e^{-t} = \bigl(B - A - B\,t\bigr)e^{-t},
e impomos \dot{x}(0)=0:
\dot{x}(0)= (B - A)\,e^0 = B - A = 0 \quad\Rightarrow\quad B = A = 1.

Passo 5

Substituindo A=B=1, obtemos a solução particular
x(t) = (1 + t)e^{-t}.
Analisando o comportamento:
– Em t=0, x(0)=1 e \dot{x}(0)=0, ou seja, ponto de máximo inicial com tangente horizontal.
– Para t>0, \dot{x}(t) = -t\,e^{-t}<0, então x(t) decai monotonamente.
– Quando t\to\infty, x(t)\to0, com decaimento exponencial.
– A concavidade muda em t=1 (ponto de inflexão).

Resposta

A solução é
x(t) = (1 + t)e^{-t},
cujo esboço é uma curva que parte de x(0)=1 com tangente horizontal, decai monotonicamente e assintoticamente para zero, apresentando ponto de inflexão em t=1.

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