Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
\ddot{x}-x=0, x(0)=2, \dot{x}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da solução da equação diferencial de segunda ordem
\ddot{x}-x=0
sujeita às condições iniciais
x(0)=2,\quad \dot{x}(0)=0.
O conteúdo aqui é a resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes e depois a interpretação gráfica da solução.

Passo 2

Para resolver a EDO montamos a equação característica associada, trocando \ddot{x} por \lambda^2 e x por 1:
\lambda^2 - 1 = 0.
As raízes são
\lambda = \pm 1.

Passo 3

A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais:
x(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-t}.
Calculamos também
\dot{x}(t) = C_1 e^{t} - C_2 e^{-t}.
Aplicando as condições iniciais em t=0:
x(0)=C_1 + C_2 = 2,
\dot{x}(0)=C_1 - C_2 = 0.
Somando e subtraindo essas equações, obtemos
C_1 = C_2 = 1.

Passo 4

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, achamos
x(t) = e^{t} + e^{-t} = 2\operatorname{cosh}(t).

Passo 5

Para esboçar x(t)=2\operatorname{cosh}(t):
  • É uma função par, simétrica em relação ao eixo vertical t=0.
  • Tem valor mínimo x(0)=2.
  • À medida que t\to\pm\infty, x(t)\to+\infty exponencialmente.
  • O gráfico é uma curva convexa (aberta para cima) com “boca” no ponto (0,2).

Resposta

O gráfico é o esboço de x(t)=2\operatorname{cosh}(t): uma curva simétrica, convexa, com mínimo em (0,2) e crescendo exponencialmente para +\infty quando t\to\pm\infty.

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