Esboce o gráfico da solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce o gráfico da solução da equação diferencial de segunda ordem
sujeita às condições iniciais
O conteúdo aqui é a resolução de EDO linear homogênea com coeficientes constantes e depois a interpretação gráfica da solução.
Passo 2
Para resolver a EDO montamos a equação característica associada, trocando
por
e
por 1:
As raízes são
Passo 3
A solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais:
Calculamos também
Aplicando as condições iniciais em
:
Somando e subtraindo essas equações, obtemos
Passo 4
Substituindo
e
na solução geral, achamos
Passo 5
Para esboçar
:
- É uma função par, simétrica em relação ao eixo vertical
. - Tem valor mínimo
. - À medida que
, exponencialmente. - O gráfico é uma curva convexa (aberta para cima) com “boca” no ponto
.
Resposta
O gráfico é o esboço de
: uma curva simétrica, convexa, com mínimo em
e crescendo exponencialmente para
quando
.