Esboce o gráfico das superfícies dadas:
3 x+6 y+2 z=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da superfície definida pela equação 3x + 6y + 2z = 12 . Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como identificar os interceptos do plano com os eixos x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos achar os interceptos do plano com cada um dos eixos coordenados. Os interceptos são os pontos onde o plano corta cada eixo quando as outras duas coordenadas são zero.

Passo 3

Vamos começar com o intercepto no eixo x . Para isso, colocamos y = 0 e z = 0 na equação:
3x + 6(0) + 2(0) = 12 implies 3x = 12 implies x = 4
Então, o intercepto no eixo x é (4, 0, 0) .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o intercepto no eixo y . Colocamos x = 0 e z = 0 :
3(0) + 6y + 2(0) = 12 implies 6y = 12 implies y = 2
Então, o intercepto no eixo y é (0, 2, 0) .

Passo 5

Por último, vamos achar o intercepto no eixo z . Colocamos x = 0 e y = 0 :
3(0) + 6(0) + 2z = 12 implies 2z = 12 implies z = 6
Então, o intercepto no eixo z é (0, 0, 6) .

Passo 6

Com os três interceptos encontrados, podemos esboçar o plano. Esses pontos formam um triângulo no espaço tridimensional. Para desenhar o gráfico:
  1. Marque os pontos (4, 0, 0) , (0, 2, 0) e (0, 0, 6) nos respectivos eixos.
  2. Conecte esses pontos com linhas retas.
  3. Preencha a região interna para representar o plano.

Resposta

O gráfico da superfície 3x + 6y + 2z = 12 é um plano que intercepta os eixos x , y e z nos pontos (4, 0, 0) , (0, 2, 0) e (0, 0, 6) , respectivamente, formando um triângulo no espaço tridimensional.

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