Esboce o gráfico das superfícies dadas:
Passo 1
O enunciado pede esboçar a superfície dada por
. Essa superfície é estudada em geometria analítica espacial, na família das superfícies quádricas. Para montar o esboço vamos usar seções planas (cortes por valores constantes de
,
e
) e curvas de nível.
Passo 2
Observando que os coeficientes de
e
são positivos e não há termos mistos nem lineares, concluímos que
é um paraboloide elíptico com vértice em
e abertura no sentido positivo de
.
Passo 3
Cortes por planos paralelos aos eixos coordenados:
Para temos
Para
que é uma parábola no plano
abrindo para cima e mais “estreita” que
.
Para temos
Para
que é uma parábola padrão no plano
abrindo para cima.
Passo 4
Curvas de nível em planos
:
implica elipses centradas em
no plano
com semi-eixo
ao longo de
e
ao longo de
. À medida que
aumenta, as elipses ficam maiores e mais estendidas em
.
Passo 5
Desenhando o esqueleto do paraboloide: marque o vértice em
, trace as parábolas
no plano
e
no plano
, depois projete elipses de nível para vários valores de
. Conecte suavemente esses contornos para visualizar uma “tigela” que se abre indefinidamente, mais larga em
do que em
.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em
, com seções parabólicas nos planos
e
e curvas de nível elípticas
, abrindo no sentido positivo de
.