Esboce o gráfico das superfícies dadas:
z=3 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede esboçar a superfície dada por z=3x^2+y^2. Essa superfície é estudada em geometria analítica espacial, na família das superfícies quádricas. Para montar o esboço vamos usar seções planas (cortes por valores constantes de x, y e z) e curvas de nível.

Passo 2

Observando que os coeficientes de x^2 e y^2 são positivos e não há termos mistos nem lineares, concluímos que
z=3x^2+y^2
é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) e abertura no sentido positivo de z.

Passo 3

Cortes por planos paralelos aos eixos coordenados:
Para y=0 temos
z=3x^2,
que é uma parábola no plano y=0 abrindo para cima e mais “estreita” que z=x^2.
Para x=0 temos
z=y^2,
que é uma parábola padrão no plano x=0 abrindo para cima.

Passo 4

Curvas de nível em planos z=c:
c=3x^2+y^2
implica elipses centradas em (0,0) no plano xy com semi-eixo raiztfracc3 ao longo de x e raizc ao longo de y. À medida que c aumenta, as elipses ficam maiores e mais estendidas em y.

Passo 5

Desenhando o esqueleto do paraboloide: marque o vértice em (0,0,0), trace as parábolas z=3x^2 no plano y=0 e z=y^2 no plano x=0, depois projete elipses de nível para vários valores de z. Conecte suavemente esses contornos para visualizar uma “tigela” que se abre indefinidamente, mais larga em y do que em x.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em (0,0,0), com seções parabólicas nos planos y=0 e x=0 e curvas de nível elípticas (x,y)mid3x^2+y^2=c, abrindo no sentido positivo de z.

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