Utilize a Regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x pi2 ln (sen(x))(pi-2 x)^2

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto pi2 lnl(sin(x)r)(pi-2x)^2
Quando xtopi2 temos ln(sin x)toln(1)=0 e (pi-2x)^2to0, ou seja, forma indeterminada tfrac00. Para essa situação, vamos usar a Regra de l’Hôpital, que nos permite derivar numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Derivando o numerador e o denominador uma vez:
a) ddxl[ln(sin x)r]=cos xsin x=cot(x)
b) ddxl[(pi-2x)^2r]=2(pi-2x)cdot(-2)=-4(pi-2x)
O limite passa a ser
limxto pi2 cot(x)-4(pi-2x)
Ao substituir x=pi2 ainda obtemos cot(tfracpi2)=0 e pi-2cdottfracpi2=0, isto é, nova forma tfrac00.

Passo 3

Aplicamos l’Hôpital pela segunda vez:
a) ddx[cot(x)]=-csc^2(x)
b) ddxl[-4(pi-2x)r]=-4cdot(-2)=8
O limite torna-se
limxto pi2 -csc^2(x)8
Agora não há mais indeterminação.

Passo 4

Basta avaliar em x=tfracpi2:
csc(tfracpi2)=1 implica csc^2(tfracpi2)=1.
Logo o valor do limite é
-18

Resposta

-,tfrac18

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