Sejam conjuntos A e B tais que \operatorname{int}(A \cup B)=\operatorname{int}(A) \cup \operatorname{int}(B). Se é verdadeiro mostre, caso seja falso de um contraexemplo

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, em qualquer espaço topológico e para quaisquer conjuntos A e B, vale a igualdade
\operatorname{int}(A\cup B)=\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B).
Aqui vamos usar a definição de interior: \operatorname{int}(X) é o maior aberto contido em X, e o fato de que união de abertos é aberta e que interior é o maior aberto possível.

Passo 2

Provar \operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)\subseteq\operatorname{int}(A\cup B).
Como \operatorname{int}(A) é aberto e está contido em A\subseteq A\cup B, temos
\operatorname{int}(A)\subseteq A\cup B.
Analogamente \operatorname{int}(B)\subseteq A\cup B. Então a união
\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)
é aberta e está contida em A\cup B. Por definição de interior, toda aberto contido em A\cup B fica dentro de \operatorname{int}(A\cup B). Logo
\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)\subseteq\operatorname{int}(A\cup B).

Passo 3

Provar \operatorname{int}(A\cup B)\subseteq\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B).
Seja x\in\operatorname{int}(A\cup B). Então existe um aberto U tal que
x\in U\quad\text{e}\quad U\subseteq A\cup B.
Como
U = (U\cap A)\;\cup\;(U\cap B),
o ponto x pertence a um desses dois fechamentos parciais; suponha sem perda de generalidade que x\in U\cap A. Então U\cap A é um aberto que contém x e fica dentro de A, o que mostra x\in\operatorname{int}(A). Analogamente, se x\in U\cap B então x\in\operatorname{int}(B). Em qualquer caso,
x\in\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B).
Isso prova a segunda inclusão.

Passo 4

Das inclusões
\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)\subseteq\operatorname{int}(A\cup B) \quad\text{e}\quad \operatorname{int}(A\cup B)\subseteq\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)
segue a igualdade desejada.

Resposta

A igualdade
\operatorname{int}(A\cup B)=\operatorname{int}(A)\cup\operatorname{int}(B)
é sempre verdadeira, para quaisquer conjuntos A e B em um espaço topológico.

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