Sejam conjuntos
e
tais que
. Se é verdadeiro mostre, caso seja falso de um contraexemplo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, em qualquer espaço topológico e para quaisquer conjuntos
e
, vale a igualdade
Aqui vamos usar a definição de interior:
é o maior aberto contido em
, e o fato de que união de abertos é aberta e que interior é o maior aberto possível.
Passo 2
Provar
.
Como é aberto e está contido em
, temos
Como
Analogamente
. Então a união
é aberta e está contida em
. Por definição de interior, toda aberto contido em
fica dentro de
. Logo
Passo 3
Provar
.
Seja . Então existe um aberto
tal que
Seja
Como
o ponto
pertence a um desses dois fechamentos parciais; suponha sem perda de generalidade que
. Então
é um aberto que contém
e fica dentro de
, o que mostra
. Analogamente, se
então
. Em qualquer caso,
Isso prova a segunda inclusão.
Passo 4
Das inclusões
segue a igualdade desejada.
Resposta
A igualdade
é sempre verdadeira, para quaisquer conjuntos
e
em um espaço topológico.