Esboce gráficos que demonstrem as desigualdades
Avalie as integrais e mostre que
Passo 1
Beleza, aqui o que o enunciado pede é a gente “desenhar” (esboçar) gráficos que mostrem duas desigualdades envolvendo a soma dos quadrados dos inteiros de 0 até
e duas integrais de
. Depois, queremos usar isso pra avaliar as integrais e concluir que
O conteúdo aqui é análise de soma versus integral (Riemann), cálculo de integrais simples e noção de notação assintótica
. Vamos precisar saber:
- Como comparar soma e integral pela ideia de retângulos (aproximação inferior e superior).
- Como integrar
. - O que significa
.
Passo 2
Primeiro, a ideia gráfica: imagine a função
. Para cada
a gente desenha um retângulo de base 1 e altura
.
- Se a gente colocar o retângulo “encaixado à direita” sobre cada intervalo
, isso fica maior ou igual à área de nesse intervalo. Somando tudo de até dá a integral de 0 até aproximada por cima: - Se a gente encaixa o retângulo “à esquerda” sobre
, ele fica menor ou igual à área de . Somando de até rende
Como o termo
é zero de qualquer jeito, dá pra juntar e reescrever:
Passo 3
Agora calculamos as integrais. A primitiva de
é
. Então:
Passo 4
Juntando com as desigualdades:
Isso nos diz que
está “entre”
e
. Em notação assintótica: os termos menores (como
,
e constante) ficam encapsulados em
.
Passo 5
Portanto podemos escrever
ou seja, o crescimento principal é
e o resto não passa de uma constante vezes
quando
fica grande.