Esboce gráficos que demonstrem as desigualdades
integral0^n i^2 d i <= sumi=0^n i^2 <= integral0^n+1 i^2 d i
Avalie as integrais e mostre que
sumi=0^n i^2=n^33+O(n^2)

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado pede é a gente “desenhar” (esboçar) gráficos que mostrem duas desigualdades envolvendo a soma dos quadrados dos inteiros de 0 até sumi=0^n i^2 ;=;n^33+O!l(n^2r) e duas integrais de . Depois, queremos usar isso pra avaliar as integrais e concluir que
O conteúdo aqui é análise de soma versus integral (Riemann), cálculo de integrais simples e noção de notação assintótica . Vamos precisar saber:
  • Como comparar soma e integral pela ideia de retângulos (aproximação inferior e superior).
  • Como integrar .
  • O que significa .

Passo 2

Primeiro, a ideia gráfica: imagine a função sumi=1^n i^2 ;>=; integral0^n x^2,dx . Para cada sumi=0^n i^2 ;<=; integral0^n+1 x^2,dx a gente desenha um retângulo de base 1 e altura integral0^n x^2,dx ;<=; sumi=0^n i^2 ;<=; integral0^n+1 x^2,dx .
  • Se a gente colocar o retângulo “encaixado à direita” sobre cada intervalo , isso fica maior ou igual à área de nesse intervalo. Somando tudo de até dá a integral de 0 até aproximada por cima:
  • Se a gente encaixa o retângulo “à esquerda” sobre , ele fica menor ou igual à área de . Somando de até rende
Como o termo é zero de qualquer jeito, dá pra juntar e reescrever:

Passo 3

Agora calculamos as integrais. A primitiva de integral0^n x^2,dx = [x^33]0^n = n^33 - 0 = n^33, é integral0^n+1 x^2,dx = [x^33]0^n+1 = (n+1)^33 = n^3 + 3n^2 + 3n +13 . Então:

Passo 4

Juntando com as desigualdades:
n^33 ;<=; sumi=0^n i^2 ;<=; n^3 + 3n^2 + 3n +13
Isso nos diz que está “entre” e . Em notação assintótica: os termos menores (como , e constante) ficam encapsulados em .

Passo 5

Portanto podemos escrever
sumi=0^n i^2 ;=; n^33 ;+; O!l(n^2r),
ou seja, o crescimento principal é e o resto não passa de uma constante vezes quando fica grande.

Resposta

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