Determine se as matrizes são ou não positivas definidas:
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem quatro matrizes simétricas
A,B,C,D
e quer saber quais delas são positivas definidas.
Conteúdo da matéria: Álgebra Linear – definição de matriz positiva definida e o critério de Sylvester (que diz que uma matriz simétrica é positiva definida se, e só se, todos os menores principais (determinantes dos blocos iniciais) forem positivos).
O que vamos precisar:
Calcular determinantes de submatrizes 1×1, 2×2 e 3×3 (menores principais).
Conferir se cada um deles é > 0.
Passo 2
Antes de começar a calcular, deixa eu te explicar a teoria rapidinho:
– Matriz positiva definida é aquela que satisfaz para todo vetor .
– O critério de Sylvester facilita muito: em vez de testar todos os , basta olhar os menores principais.
Menor principal de ordem 1: é só o elemento .
Menor principal de ordem 2: é o determinante da submatriz que pega linhas e colunas 1 e 2.
Menor principal de ordem 3: é o determinante da própria matriz 3×3.
Se todos esses três forem positivos, a matriz é positiva definida.
Passo 3
Vamos a A=9&3&33&10&73&5&9 :
De0
Menor de ordem 1:
De0
Menor de ordem 2:
De
Menor de ordem 3 (determinante de 10&75&9):
3&73&9
Calculemos cada pedacinho: 3&103&5, De0 , .
Então
Como , é positiva definida.
Passo 4
Agora B=4&2&62&2&56&5&29 :
4&22&2
De
2&55&29
2&56&29. Usando a regra de Sarrus ou expansão por co-fatores:
2&26&5
Calculemos: De0 , , .
Logo
Então também é positiva definida.
Passo 5
Matriz C=4&4&84&-4&18&1&6 :
4&44&-4
Já deu ruim no segundo menor, então não é positiva definida (não precisa nem calcular o de ordem 3).
Passo 6
Matriz D=1&1&11&2&21&2&1 :
1&11&2
De
2&22&1
1&21&1. Pela expansão:
1&21&2
Calculando: De, , .
Então
Terceiro menor negativo, logo não é positiva definida.
Resposta
Somente as matrizes e são positivas definidas; e não são.