Determine se as matrizes são ou não positivas definidas:
A=[ccc 9 & 3 & 3 3 & 10 & 7 3 & 5 & 9 ] B=[ccc 4 & 2 & 6 2 & 2 & 5 6 & 5 & 29 ] C=[rrr 4 & 4 & 8 4 & -4 & 1 8 & 1 & 6 ] D=[lll 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 1 ]

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede: a gente tem quatro matrizes simétricas
A,B,C,D
e quer saber quais delas são positivas definidas.
Conteúdo da matéria: Álgebra Linear – definição de matriz positiva definida e o critério de Sylvester (que diz que uma matriz simétrica é positiva definida se, e só se, todos os menores principais (determinantes dos blocos iniciais) forem positivos).
O que vamos precisar:
  1. Calcular determinantes de submatrizes 1×1, 2×2 e 3×3 (menores principais).
  2. Conferir se cada um deles é > 0.

Passo 2

Antes de começar a calcular, deixa eu te explicar a teoria rapidinho:
– Matriz positiva definida é aquela que satisfaz para todo vetor .
– O critério de Sylvester facilita muito: em vez de testar todos os , basta olhar os menores principais.
  • Menor principal de ordem 1: é só o elemento .
  • Menor principal de ordem 2: é o determinante da submatriz que pega linhas e colunas 1 e 2.
  • Menor principal de ordem 3: é o determinante da própria matriz 3×3.
    Se todos esses três forem positivos, a matriz é positiva definida.

Passo 3

Vamos a A=9&3&33&10&73&5&9 :
De0
  1. Menor de ordem 1:
De0
  1. Menor de ordem 2:
De
  1. Menor de ordem 3 (determinante de 10&75&9):
3&73&9
Calculemos cada pedacinho:
3&103&5,
De0 ,
.
Então
Como , é positiva definida.

Passo 4

Agora B=4&2&62&2&56&5&29 :
4&22&2
  1. De
  2. 2&55&29
  3. 2&56&29. Usando a regra de Sarrus ou expansão por co-fatores:
2&26&5
Calculemos:
De0 ,
,
.
Logo
Então também é positiva definida.

Passo 5

Matriz C=4&4&84&-4&18&1&6 :
4&44&-4

  1. Já deu ruim no segundo menor, então não é positiva definida (não precisa nem calcular o de ordem 3).

Passo 6

Matriz D=1&1&11&2&21&2&1 :
1&11&2
  1. De
  2. 2&22&1
  3. 1&21&1. Pela expansão:
1&21&2
Calculando:
De,
,
.
Então
Terceiro menor negativo, logo não é positiva definida.

Resposta

Somente as matrizes e são positivas definidas; e não são.

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