(Prova por indução) Desejamos provar que
sumi=1^n-1 i=n(n-1)2
para todos inteiros positivos n. Inicie mostrando que (1) vale para n=1. Agora mostre que se (1) vale pra n=k, então também valerá para n=k+1. Isto é, mostre que
sumi=1^k i=(k+1) k2
é verdadeiro, assumindo que
sumi=1^k-1 i=k(k-1)2
é verdadeiro. Com isso estará provado por indução que (1) vale para todos inteiros positivos n.

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é usar prova por indução para mostrar que, para todo inteiro positivo sumi=1^n-1 i ;=;n(n-1)2 ,
Ou seja, a matéria é “prova por indução” e, pra resolver, a gente precisa de dois ingredientes:
  1. verificar o caso base (aqui ),
  2. assumir que funciona pra (hipótese de indução) e então provar que daí funciona pra .

Passo 2

Caso base ( ):
  • No lado esquerdo temos . Por convenção, uma soma sem termos dá zero.
  • No lado direito .
    Então, para , os dois lados são iguais a 0. Logo o caso base está garantido.

Passo 3

Passo indutivo:
  1. Hipótese de indução: suponha que para algum sumi=1^k-1 i ;=;k(k-1)2 valha sumi=1^k i ;=;(k+1),k2
  2. Queremos mostrar que então sumi=1^k i ;=; l(sumi=1^k-1 ir) + k
  3. Observe que sumi=1^k i = k(k-1)2 + k = k(k-1) + 2k2 = kl((k-1)+2r)2 = k(k+1)2 Pela hipótese, . Logo Pronto, mostramos que se vale pra , vale pra .

Resposta

Pela estrutura da prova por indução (caso base + passo indutivo), concluímos que
sumi=1^n-1 i = n(n-1)2
vale para todo inteiro positivo .

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