(Prova por indução) Desejamos provar que
para todos inteiros positivos
. Inicie mostrando que (1) vale para
. Agora mostre que se (1) vale pra
, então também valerá para
. Isto é, mostre que
é verdadeiro, assumindo que
é verdadeiro. Com isso estará provado por indução que (1) vale para todos inteiros positivos
.
Passo 1
Beleza, a ideia aqui é usar prova por indução para mostrar que, para todo inteiro positivo
,
Ou seja, a matéria é “prova por indução” e, pra resolver, a gente precisa de dois ingredientes:
- verificar o caso base (aqui
), - assumir que funciona pra
(hipótese de indução) e então provar que daí funciona pra .
Passo 2
Caso base (
):
- No lado esquerdo temos
. Por convenção, uma soma sem termos dá zero. - No lado direito
.
Então, para, os dois lados são iguais a 0. Logo o caso base está garantido.
Passo 3
Passo indutivo:
- Hipótese de indução: suponha que para algum
valha - Queremos mostrar que então
- Observe que
Pela hipótese, . Logo Pronto, mostramos que se vale pra , vale pra .
Resposta
Pela estrutura da prova por indução (caso base + passo indutivo), concluímos que
vale para todo inteiro positivo
.