Esboce os gráficos das funções f: R R definidas por y=f(x) abaixo:
(x-2)^2, & x <= 0 -3 x^22, & x>0

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função por partes
y=f(x)=(x-2)^2,&x<=0-tfrac3x^22,&x>0
O tema aqui é gráfico de funções definidas em pedaços e, em particular, parábolas em cada ramo.

Passo 2

Para o ramo x<=0, temos a parábola y=(x-2)^2. Ela é voltada para cima, com vértice em (2,0), mas só desenhamos sua parte quando x<=0. Em x=0 obtemos
y=(0-2)^2=4,
então o ponto (0,4) faz parte do gráfico (ponto fechado). À medida que xto-infty, yto+infty, então a curva sobe para os dois lados negativos.

Passo 3

Para o ramo x>0, temos a parábola y=-tfrac3x^22. Esta é voltada para baixo, com vértice em (0,0), mas só existe para x>0. Em xto0^+ temos yto0, então desenhamos a curva que desce do vértice, mas deixamos o ponto (0,0) como aberto (circulado). À medida que xto+infty, yto-infty.

Passo 4

Unimos os dois ramos: para x<=0 a parábola aberta para cima, passando por (0,4) com ponto fechado; para x>0 a parábola aberta para baixo, iniciando em (0,0) com ponto aberto. Há um salto em x=0 entre y(0^-)=4 e y(0^+)=0.

Resposta

O esboço mostra duas partes:
• Para x≤0, a curva de y=(x−2)² voltada para cima, passando por (0,4) (ponto fechado) e subindo para x→−∞.
• Para x>0, a curva de y=−3x²/2 voltada para baixo, começando em (0,0) como ponto aberto e descendo para y→−∞.
Há um salto na ordenada em x=0, de 4 para 0.

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