Esboce os gráficos das funções f: R R definidas por y=f(x) abaixo:
(x-2)^2, & x<-1 4, & x=-1 7 x-1, & -1= 0

Passo 1

A função é definida por partes, envolvendo uma parábola, uma constante e retas. Para esboçar, vamos analisar cada intervalo separadamente, entender o formato de cada trecho e marcar corretamente os pontos de fronteira (abertos ou fechados).

Passo 2

Para x<−1, temos y=(x-2)^2, que é uma parábola com vértice em (2,0) voltada para cima. Como só usamos o ramo onde x<−1, a parábola cresce para +infty à medida que xto-infty e em x=-1 atinge y=(-1-2)^2=9. Nesse ponto colocamos um círculo aberto em (-1,9).
Em x=-1, a função vale y=4. Marcamos aí um ponto fechado em (-1,4). Isso mostra que há salto de 9 para 4 nesse valor de x.

Passo 3

Para −1<x<0, temos a reta y=7x-1. Em x=-1^+ o valor seria 7(-1)-1=-8 (círculo aberto em (-1,-8)) e em x=0^- -1 (círculo aberto em (0,-1)). Ligamos esses pontos com uma reta de inclinação positiva.

Passo 4

Para x≥0, a reta é y=2x. Em x=0 vale 0, e como é x>=0 usamos ponto fechado em (0,0). A partir daí desenhamos a reta subindo com inclinação 2 para a direita.

Passo 5

Juntando tudo: uma curva parabólica para a esquerda de -1, um ponto isolado em (-1,4), um trecho de reta entre (-1,-8) e (0,-1), e outra reta a partir de (0,0). Marque sempre aberturas e fechamentos conforme os valores de cada parte.

Resposta

O esboço final apresenta:
  • Para x<−1: arco da parábola y=(x-2)², aberto em (−1,9).
  • Em x=−1: ponto sólido em (−1,4).
  • Para −1<x<0: segmento de reta unindo (−1,−8) a (0,−1), com extremidades abertas.
  • Para x≥0: reta y=2x a partir do ponto sólido (0,0) em diante.

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