Esboce os gráficos das funções f: R R definidas por y=f(x) abaixo:
y=-2 x^23+4 x-6

Passo 1

O enunciado pede pra gente esboçar o gráfico da função quadrática f(x)=-2tfracx^23+4x-6. Isso cai em matéria de funções polinomiais de 2º grau: pra desenhar a parábola, vamos precisar identificar o coeficiente principal (que diz se abre pra cima ou pra baixo), o vértice e os pontos de interseção com os eixos.

Passo 2

Primeiro a gente identifica os coeficientes na forma padrão ax^2+bx+c. Aqui a=-tfrac23, b=4 e c=-6. Como a<0, sabemos que a parábola abre para baixo.

Passo 3

Para achar o vértice, usamos a fórmula do eixo de simetria xv=-tfracb2a. Substituindo vem
xv=-42,(-2/3)=-4-4/3=3

Passo 4

Agora calculamos yv=f(3):
yv=-tfrac23cdot3^2+4cdot3-6=-tfrac23cdot9+12-6=-6+6=0 Aí o vértice é o ponto (3,0).

Passo 5

O intercepto com o eixo y é f(0)= -6, ou seja o ponto (0,-6).

Passo 6

Para ver as raízes, resolvemos $ -\tfrac{2}{3}x^2+4x-6=0$. Multiplicando ambos os lados por -tfrac23x^2+4x-6=0
-3/2) Isso mostra que a única raiz é x^2-6x+9=0implies(x-3)^2=0 (raiz dupla), confirmando que a parábola tangencia o eixo x=3 justo no vértice.

Passo 7

Com o vértice, os interceptos e sabendo que abre pra baixo, já temos tudo pra fazer o esboço: reta de simetria x=3, passa em (0,-6), ponto máximo em (3,0) e ângulo voltado pra baixo.

Resposta

Gráfico de uma parábola que abre para baixo, com vértice em (3,0), intercepto em y no ponto (0,−6), raiz dupla em x=3 e eixo de simetria x=3.

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