Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função f(x)=|x| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
h(x)=|x+2|

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=|x+2| e pede para esboçar o gráfico e explicar as transformações necessárias a partir do gráfico da função base f(x)=|x|.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função original de referência é f(x)=|x|.
  • A função a esboçar é h(x)=|x+2|.
    O que se pede:
  • Desenhar/esboçar o gráfico de h(x).
  • Explicar, passo a passo, quais transformações foram aplicadas ao gráfico de f(x)=|x| para obter h(x).

Passo 2

Relembrando o gráfico de f(x)=|x|\) — o "modelo" que vamos transformar. - Definição: \(|x|=\begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge 0.\end{cases}
  • Geometria: é um “V” com vértice em (0,0). O ramo esquerdo tem inclinação -1 (decresce para a esquerda) e o ramo direito tem inclinação +1 (cresce para a direita).
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem (contraintuitive palavra, mas aqui uso como conjunto de valores): [0,\infty).
    Isso é o ponto de partida — imagine esse V no plano cartesiano.]

Passo 3

Regra de transformação horizontal que vamos usar (motivo prático).
  • Se uma função g(x) é obtida substituindo x por x-a em f, ou seja g(x)=f(x-a), então o gráfico de f desloca-se a unidades para a direita.
  • Se g(x)=f(x+a), então o gráfico de f desloca-se a unidades para a esquerda.
    Intuição rápida: faça a substituição u=x+a. Quando u=0 (o vértice de f) ocorre para x=-a; logo o vértice deslocou-se até x=-a.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso h(x)=|x+2|.
  • Aqui temos uma substituição do tipo x \mapsto x+2, portanto é a forma f(x+2) com f(x)=|x|. Pelo item anterior, isto corresponde a uma translação horizontal de 2 unidades para a esquerda.
  • Em termos de substituição: seja u=x+2. Então h(x)=|u|. O vértice de f estava em u=0; em termos de x, u=0 quando x=-2. Logo o vértice passa de (0,0) para (-2,0).

Passo 5

Expressão peça a peça e inclinações dos ramos (para desenhar com segurança).
  • Desenvolvendo a definição do valor absoluto:
h(x)=|x+2|=\begin{cases} -(x+2), & x+2<0\quad(\text{isto é, }x<-2),\\[6pt] x+2, & x+2\ge 0\quad(\text{isto é, }x\ge -2). \end{cases}éé
  • Para x<-2: h(x)=-x-2. Esse ramo é uma reta de inclinação -1.
  • Para x\ge-2: h(x)=x+2. Esse ramo é uma reta de inclinação +1.]

Passo 6

Pontos-chave para traçar o esboço sem calculadora (marque esses no papel):
  • Vértice: (-2,0) (obtido do passo da substituição).
  • Intercepto em y: h(0)=|0+2|=2 → ponto (0,2). Marque-o; isto confirma a posição vertical do V.
  • Outro ponto simples: h(1)=|1+2|=3 → ponto (1,3).
  • Um ponto à esquerda do vértice: h(-3)=|-3+2|=1 → ponto (-3,1).
    Com o vértice e alguns pontos e sabendo as inclinações -1 e +1, trace dois ramos retos formando o V.

Passo 7

Resumo das transformações (linguagem direta, para decorar e aplicar rápido na prova):
  • Transformação aplicada a f(x)=|x| para obter h(x)=|x+2|: translação horizontal de 2 unidades para a esquerda.
  • Não houve translação vertical, não houve reflexão (nem em relação a x nem a y), nem alteração das inclinações (modulação). Só deslocamento horizontal.
  • Consequências imediatas: vértice em (-2,0); domínio \mathbb{R}; imagem [0,\infty); eixo de simetria é a reta x=-2.

Passo 8

Como esboçar passo a passo no papel (receita de prova, rápida e segura):
  1. Desenhe os eixos e marque o ponto (-2,0).
  2. A partir desse vértice, trace uma reta com inclinação -1 para a esquerda (por exemplo passe por (-3,1)) e uma reta com inclinação +1 para a direita (por exemplo passe por (0,2)).
  3. Marque o vértice e os pontos citados para dar referência. Pronto — tem o gráfico de h(x)=|x+2|.

Resposta

Translação horizontal de 2 unidades para a esquerda aplicada ao gráfico de f(x)=|x|. Vértice em (-2,0). Ramos em forma de V com inclinações -1 para x<-2 e +1 para x>-2. Intercepto em y: (0,2). Domínio: \mathbb{R}. Imagem: [0,\infty).

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