Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função
por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para esboçar o gráfico e explicar as transformações necessárias a partir do gráfico da função base
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função original de referência é
. - A função a esboçar é
.
O que se pede: - Desenhar/esboçar o gráfico de
. - Explicar, passo a passo, quais transformações foram aplicadas ao gráfico de
para obter .
Passo 2
Relembrando o gráfico de
- Geometria: é um “V” com vértice em
. O ramo esquerdo tem inclinação (decresce para a esquerda) e o ramo direito tem inclinação (cresce para a direita). - Domínio:
. - Imagem (contraintuitive palavra, mas aqui uso como conjunto de valores):
.
Isso é o ponto de partida — imagine esse V no plano cartesiano.]
Passo 3
Regra de transformação horizontal que vamos usar (motivo prático).
- Se uma função
é obtida substituindo por em , ou seja , então o gráfico de desloca-se unidades para a direita. - Se
, então o gráfico de desloca-se unidades para a esquerda.
Intuição rápida: faça a substituição. Quando (o vértice de ) ocorre para ; logo o vértice deslocou-se até .
Passo 4
Aplicando a regra ao nosso caso
.
- Aqui temos uma substituição do tipo
, portanto é a forma com . Pelo item anterior, isto corresponde a uma translação horizontal de unidades para a esquerda. - Em termos de substituição: seja
. Então . O vértice de estava em ; em termos de , quando . Logo o vértice passa de para .
Passo 5
Expressão peça a peça e inclinações dos ramos (para desenhar com segurança).
- Desenvolvendo a definição do valor absoluto:
- Para
: . Esse ramo é uma reta de inclinação . - Para
: . Esse ramo é uma reta de inclinação .]
Passo 6
Pontos-chave para traçar o esboço sem calculadora (marque esses no papel):
- Vértice:
(obtido do passo da substituição). - Intercepto em
: → ponto . Marque-o; isto confirma a posição vertical do V. - Outro ponto simples:
→ ponto . - Um ponto à esquerda do vértice:
→ ponto .
Com o vértice e alguns pontos e sabendo as inclinaçõese , trace dois ramos retos formando o V.
Passo 7
Resumo das transformações (linguagem direta, para decorar e aplicar rápido na prova):
- Transformação aplicada a
para obter : translação horizontal de unidades para a esquerda. - Não houve translação vertical, não houve reflexão (nem em relação a
nem a ), nem alteração das inclinações (modulação). Só deslocamento horizontal. - Consequências imediatas: vértice em
; domínio ; imagem ; eixo de simetria é a reta .
Passo 8
Como esboçar passo a passo no papel (receita de prova, rápida e segura):
- Desenhe os eixos e marque o ponto
. - A partir desse vértice, trace uma reta com inclinação
para a esquerda (por exemplo passe por ) e uma reta com inclinação para a direita (por exemplo passe por ). - Marque o vértice e os pontos citados para dar referência. Pronto — tem o gráfico de
.
Resposta
Translação horizontal de
unidades para a esquerda aplicada ao gráfico de
. Vértice em
. Ramos em forma de V com inclinações
para
e
para
. Intercepto em
:
. Domínio:
. Imagem:
.