Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função
por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que esbocemos o gráfico explicando as transformações que levam do gráfico de
até o gráfico de
.
Informações fornecidas:
- A função a partir da qual faremos transformações é
. - A função alvo é
.
O que é pedido:
- Descrever as transformações (translações, reflexões, etc.) que transformam
em . - Esboçar (descrever matematicamente) o gráfico resultante e dar características importantes (vértice, inclinações, interceptos, domínio, imagem).
Passo 2
Relembrando o gráfico-base
- Vértice em
): reta com inclinação
(equação ).
- Ramo direito (para): reta com inclinação (equação ).
- Domínio: todos os reais, isto é.
- Imagem:.
Esse é nosso ponto de partida.]
Passo 3
Primeira transformação: obter
a partir de
.
Regra geral: substituir
por
em
desloca o gráfico de
horizontalmente: se
desloca para a esquerda em
; se
desloca para a direita em
.
Aqui substituímos
por
, com
. Portanto:
- O gráfico de
é transladado 2 unidades para a esquerda. - O novo vértice passa de
para .
Expressão por partes de
:
Passo 4
Segunda transformação: aplicar a reflexão vertical com o sinal negativo, formando [h(x)=-|x+2|).
Regra geral: multiplicar a função por
(ou seja, colocar um sinal negativo na frente) reflete o gráfico em relação ao eixo
(inverte os valores
mantendo as abscissas).
Aplicando em
:
- O vértice
permanece em porque trocado de sinal continua . - Os ramos que antes iam para cima agora vão para baixo: o “V” vira um “Λ” invertido (um V de ponta para cima se torna invertido).
- Expressão por partes:
Observe que as inclinações trocaram de sinal: para
; para
a inclinação é
.]
Passo 5
Terceira transformação: somar [5) verticalmente, formando
.
Regra geral: somar uma constante
fora do módulo (isto é,
) desloca o gráfico verticalmente para cima em
. Se fosse
deslocaria para baixo.
Aplicando em
:
- Translação vertical para cima em
unidades. - O vértice, que estava em
, vai para . - O máximo do gráfico agora é
no vértice (porque antes , somando dá ).
Escrevendo
por partes (somando
às expressões de
):
Verifique nas junções: para
e
, portanto coerente no vértice.]
Passo 6
Características finais do gráfico e pontos importantes (tudo útil para esboçar na prova):
- Forma: um “Λ” invertido (inversão vertical do V), com vértice apontando para cima no valor máximo.
- Vértice:
. - Inclinações (declives) dos ramos:
- Para
: reta com inclinação . - Para
: reta com inclinação .
- Para
- Domínio:
(todos os reais). - Imagem:
(máximo , decresce indefinidamente para baixo). - Intercepto com o eixo
(quando ):
ou seja ponto
.
- Interseções com o eixo
(resolver ):
portanto
ou
. Pontos
e
.
- Observação geométrica para esboço: marque o vértice
, marque os interceptos , e e trace duas retas ligando esses pontos com inclinações indicadas.
Passo 7
Resumo das transformações (ordem e interpretação):
-
. -
— translação horizontal 2 unidades para a esquerda (vértice vai de para ). -
— reflexão em torno do eixo (vira um “Λ” invertido, valores trocam de sinal). -
— translação vertical 5 unidades para cima (vértice vai para e o máximo do gráfico passa a ser ).
Regra mnemônica rápida: substituir
por
desloca para a esquerda se
; multiplicar por
fora reflete verticalmente; somar fora desloca verticalmente.
Passo 8
Guia prático para esboçar na prova (passos curtos que você pode reproduzir no caderno):
- Desenhe o ponto vértice
. - A partir do vértice, trace a reta com inclinação
para a esquerda (equação ); passe por . - Do vértice, trace a reta com inclinação
para a direita (equação ); passe por e por . - Marque domínio e imagem rapidamente: domínio
, imagem .
Assim obtém-se um esboço correto e rápido do gráfico.
Resposta
Transformações: a partir de
Vértice:
à esquerda,
à direita. Interceptos:
-intercepto
;
-interceptos
e
. Domínio:
. Imagem:
.]