Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função f(x)=|x| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
n(x)=5-|x+2|

Passo 1

O enunciado dá a função n(x)=5-|x+2| e pede que esbocemos o gráfico explicando as transformações que levam do gráfico de f(x)=|x| até o gráfico de n(x).
Informações fornecidas:
  • A função a partir da qual faremos transformações é f(x)=|x|.
  • A função alvo é n(x)=5-|x+2|.
O que é pedido:
  • Descrever as transformações (translações, reflexões, etc.) que transformam f(x)=|x| em n(x).
  • Esboçar (descrever matematicamente) o gráfico resultante e dar características importantes (vértice, inclinações, interceptos, domínio, imagem).

Passo 2

Relembrando o gráfico-base f(x)=|x|\) (a “letra V”): - Definição por partes: \[|x| = \begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge 0. \end{cases}
  • Vértice em (0,0)\]. - Ramo esquerdo (para \(x<0): reta com inclinação -1 (equação y=-x).
    - Ramo direito (para x\ge0): reta com inclinação +1 (equação y=x).
    - Domínio: todos os reais, isto é \mathbb{R}.
    - Imagem: [0,\infty).
    Esse é nosso ponto de partida.]

Passo 3

Primeira transformação: obter g(x)=|x+2| a partir de |x|.
Regra geral: substituir x por x+a em f(x) desloca o gráfico de f horizontalmente: se a>0 desloca para a esquerda em a; se a<0 desloca para a direita em |a|.
Aqui substituímos x por x+2, com a=2>0. Portanto:
  • O gráfico de |x| é transladado 2 unidades para a esquerda.
  • O novo vértice passa de (0,0) para (-2,0).
Expressão por partes de g(x)=|x+2|:
|x+2|=\begin{cases} -(x+2)=-x-2, & x<-2,\\[4pt] x+2, & x\ge -2. \end{cases}]

Passo 4

Segunda transformação: aplicar a reflexão vertical com o sinal negativo, formando [h(x)=-|x+2|).
Regra geral: multiplicar a função por -1 (ou seja, colocar um sinal negativo na frente) reflete o gráfico em relação ao eixo x (inverte os valores y mantendo as abscissas).
Aplicando em g:
  • O vértice (-2,0) permanece em (-2,0) porque 0 trocado de sinal continua 0.
  • Os ramos que antes iam para cima agora vão para baixo: o “V” vira um “Λ” invertido (um V de ponta para cima se torna invertido).
  • Expressão por partes:
-|x+2|=\begin{cases} x+2, & x<-2,\\[4pt] -(x+2)=-x-2, & x\ge -2. \end{cases}
Observe que as inclinações trocaram de sinal: para x<-2\] a inclinação agora é \(+1; para x\ge-2 a inclinação é -1.]

Passo 5

Terceira transformação: somar [5) verticalmente, formando n(x)=5-|x+2|.
Regra geral: somar uma constante +b fora do módulo (isto é, f(x)+b) desloca o gráfico verticalmente para cima em b. Se fosse -b deslocaria para baixo.
Aplicando em -|x+2|:
  • Translação vertical para cima em 5 unidades.
  • O vértice, que estava em (-2,0), vai para (-2,5).
  • O máximo do gráfico agora é y=5 no vértice (porque antes -|x+2|\le 0, somando 5 \le5).
Escrevendo n(x) por partes (somando 5 às expressões de -|x+2|):
n(x)=5-|x+2|=\begin{cases} 5+(x+2)=x+7, & x<-2,\\[4pt] 5+(-x-2)=-x+3, & x\ge -2. \end{cases}
Verifique nas junções: para x=-2\], \(x+7=-2+7=5 e -x+3=-(-2)+3=5, portanto coerente no vértice.]

Passo 6

Características finais do gráfico e pontos importantes (tudo útil para esboçar na prova):
  • Forma: um “Λ” invertido (inversão vertical do V), com vértice apontando para cima no valor máximo.
  • Vértice: (-2,5).
  • Inclinações (declives) dos ramos:
    • Para x<-2: reta y=x+7 com inclinação +1.
    • Para x\ge-2: reta y=-x+3 com inclinação -1.
  • Domínio: \mathbb{R} (todos os reais).
  • Imagem: (-\infty,5] (máximo 5, decresce indefinidamente para baixo).
  • Intercepto com o eixo y (quando x=0):
n(0)=5-|0+2|=5-2=3,
ou seja ponto (0,3).
  • Interseções com o eixo x (resolver n(x)=0):
5-|x+2|=0 \quad\Rightarrow\quad |x+2|=5 \quad\Rightarrow\quad x+2=\pm5,
portanto x=3 ou x=-7. Pontos (3,0) e (-7,0).
  • Observação geométrica para esboço: marque o vértice (-2,5), marque os interceptos (-7,0), (3,0) e (0,3) e trace duas retas ligando esses pontos com inclinações indicadas.

Passo 7

Resumo das transformações (ordem e interpretação):
  1. f(x)=|x|.
  2. f(x+2)=|x+2| — translação horizontal 2 unidades para a esquerda (vértice vai de (0,0) para (-2,0)).
  3. -\,f(x+2)=-|x+2| — reflexão em torno do eixo x (vira um “Λ” invertido, valores trocam de sinal).
  4. -|x+2|+5=5-|x+2| — translação vertical 5 unidades para cima (vértice vai para (-2,5) e o máximo do gráfico passa a ser 5).
Regra mnemônica rápida: substituir x por x+a desloca para a esquerda se a>0; multiplicar por -1 fora reflete verticalmente; somar fora desloca verticalmente.

Passo 8

Guia prático para esboçar na prova (passos curtos que você pode reproduzir no caderno):
  1. Desenhe o ponto vértice (-2,5).
  2. A partir do vértice, trace a reta com inclinação +1 para a esquerda (equação y=x+7); passe por (-7,0).
  3. Do vértice, trace a reta com inclinação -1 para a direita (equação y=-x+3); passe por (3,0) e por (0,3).
  4. Marque domínio e imagem rapidamente: domínio \mathbb{R}, imagem (-\infty,5].
    Assim obtém-se um esboço correto e rápido do gráfico.

Resposta

Transformações: a partir de f(x)=|x|\) faz-se (1) translação horizontal 2 para a esquerda (\(|x+2|\)), (2) reflexão em torno do eixo \(x\) (multiplicação por \(-1\)), (3) translação vertical 5 para cima (adição de \(5\)). Expressão por partes: \[n(x)=5-|x+2|=\begin{cases} x+7, & x<-2,\\[4pt] -x+3, & x\ge -2. \end{cases}
Vértice: (-2,5)\]. Inclinações: \(+1 à esquerda, -1 à direita. Interceptos: y-intercepto (0,3); x-interceptos (-7,0) e (3,0). Domínio: \mathbb{R}. Imagem: (-\infty,5].]

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