Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função
por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
a partir do gráfico de referência
, e explicar quais transformações (translações, reflexões, modulações) levam
em
. Informações dadas:
- Função de referência:
. - Função a ser obtida:
.
O que se pede explicitamente: - Dizer quais transformações são aplicadas em
para obter . - Esboçar (ou descrever claramente como esboçar) o gráfico resultante, com pontos-chave, interseções, domínio e imagem.
Passo 2
Lembrete didático sobre
(a base que vamos transformar). Coisas que preciso saber para transformar e desenhar:
-
tem vértice em . - É uma “V” com duas ramos lineares: para
a expressão é (reta de declive ); para é (reta de declive ). - Domínio:
. - Imagem (contradomínio efetivo):
. - Interseção com eixos: passa por
; pontos simples: , , , . Esses pontos ajudam no esboço.
Passo 3
Identificação das transformações em
, explicadas passo a passo e por que cada uma ocorre:
- Termo interno
: mudar para desloca o gráfico horizontalmente em sentido oposto ao sinal. Como é , o deslocamento é 2 unidades para a esquerda. Regra prática: desloca para a direita , então desloca para a esquerda 2. - Sinal negativo externo
: multiplicar toda a função por faz uma reflexão em torno do eixo (inverte as ordenadas). Regra prática: se , pega-se o gráfico de e reflete verticalmente. - Coeficiente multiplicativo com valor absoluto de
(aqui é ): não há alongamento ou contração vertical além da reflexão, pois .
Conclusão: a sequência de operações sobreé
- translação horizontal de
unidades para a esquerda (pela substituição ); - reflexão em torno do eixo
(por multiplicação por ).
A ordem importa conceitualmente: primeiro identificar a translação interna, depois a reflexão externa; porém, o efeito final é o mesmo se descrevermos em qualquer ordem desde que ambas sejam aplicadas.
Passo 4
Para entender a forma final, é útil escrever
Interpretação: à esquerda do ponto
(declive
), e à direita (incluindo
) é a reta
(declive
). Isso descreve um “V” invertido (apex para cima? cuidado: é um V apontando para baixo — vértice máximo), com vértice onde as duas peças se encontram: em
.]
Passo 5
Determinar o vértice e pontos chave:
- Vértice (ponto onde muda a expressão) ocorre em
. Calculo . Então vértice em . - Interseção com o eixo
: solução de . Já temos é solução. Não há outras porque em cada ramo as retas e só se anulam em . - Interseção com o eixo
: . Então ponto . - Alguns pontos úteis para desenhar (relacionados com os valores simétricos de
): -
: . Ponto . -
: . Ponto . -
: . Ponto .
Esses pontos confirmam as retas de decliveà esquerda do vértice e à direita.
-
Passo 6
Domínio, imagem e simetria:
- Domínio:
— mesma do valor absoluto. - Imagem (conjunto de valores de
): como temos reflexão de (imediatamente após deslocamento o conjunto de valores ainda é ), multiplicando por obtemos . Portanto imagem é . - Eixo de simetria: o gráfico é simétrico em relação à reta vertical
(porque é uma versão de deslocada).
Passo 7
Como esboçar rapidamente na prova (passo a passo prático):
- Marque o vértice em
. - A partir do vértice, trace uma reta com declive
para a esquerda — use pontos , para guiar. Essa é a expressão para . - A partir do vértice, trace uma reta com declive
para a direita — use pontos , para guiar. Essa é a expressão para . - Indique claramente o domínio (seta em ambos os lados se continuar) e o fato de que o ponto
está incluído (ponto sólido). - Rotule pontos importantes: vértice
, interseção com em .
Se for desenhar com papel milimetrado, pode conectar os pontos com linhas retas formando o “V” invertido.
Passo 8
Dica e reforço (curto): a operação interna
corresponde sempre a mover o gráfico para a esquerda quando o sinal é
. O sinal negativo externo inverte para baixo o que antes estava para cima. Sempre procure primeiro o vértice/centro (aqui
) e então desenhe as retas com declives conhecidos (
nesse caso) — isso é rápido e seguro na prova.
Resposta
Translação do gráfico de
2 unidades para a esquerda e reflexão em torno do eixo
; vértice em
; domínio
; imagem
; interseção com
em
; forma peça‑por‑peça