Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Note que os gráficos das funções abaixo podem ser obtidos do gráfico da função f(x)=|x| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas em cada item.
m(x)=-|x+2|

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função m(x) = -\lvert x+2\rvert a partir do gráfico de referência f(x)=\lvert x\rvert, e explicar quais transformações (translações, reflexões, modulações) levam f em m. Informações dadas:
  • Função de referência: f(x)=\lvert x\rvert.
  • Função a ser obtida: m(x)=-\lvert x+2\rvert.
    O que se pede explicitamente:
  • Dizer quais transformações são aplicadas em f para obter m.
  • Esboçar (ou descrever claramente como esboçar) o gráfico resultante, com pontos-chave, interseções, domínio e imagem.

Passo 2

Lembrete didático sobre f(x)=\lvert x\rvert (a base que vamos transformar). Coisas que preciso saber para transformar e desenhar:
  • f(x)=\lvert x\rvert tem vértice em (0,0).
  • É uma “V” com duas ramos lineares: para x<0 a expressão é f(x)=-x (reta de declive -1); para x\ge 0 é f(x)=x (reta de declive +1).
  • Domínio: (-\infty,\infty).
  • Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty).
  • Interseção com eixos: passa por (0,0); pontos simples: (-1,1), (1,1), (-2,2), (2,2). Esses pontos ajudam no esboço.

Passo 3

Identificação das transformações em m(x)=-\lvert x+2\rvert, explicadas passo a passo e por que cada uma ocorre:
  • Termo interno x+2: mudar x para x+2 desloca o gráfico horizontalmente em sentido oposto ao sinal. Como é +2, o deslocamento é 2 unidades para a esquerda. Regra prática: f(x-h) desloca para a direita h, então f(x+2)=f(x-(-2)) desloca para a esquerda 2.
  • Sinal negativo externo -(\cdot): multiplicar toda a função por -1 faz uma reflexão em torno do eixo x (inverte as ordenadas). Regra prática: se g(x)= -f(x), pega-se o gráfico de f e reflete verticalmente.
  • Coeficiente multiplicativo com valor absoluto de 1 (aqui é -1): não há alongamento ou contração vertical além da reflexão, pois \lvert -1\rvert = 1.
    Conclusão: a sequência de operações sobre f é
  1. translação horizontal de 2 unidades para a esquerda (pela substituição x\mapsto x+2);
  2. reflexão em torno do eixo x (por multiplicação por -1).
    A ordem importa conceitualmente: primeiro identificar a translação interna, depois a reflexão externa; porém, o efeito final é o mesmo se descrevermos em qualquer ordem desde que ambas sejam aplicadas.

Passo 4

Para entender a forma final, é útil escrever m(x)\) em forma peça por peça (isso mostra inclinações e vértice). Começo decomponto \(\lvert x+2\rvert\): - Se \(x+2<0\) (ou seja \(x<-2\)), então \(\lvert x+2\rvert = -(x+2)\). - Se \(x+2\ge 0\) (ou seja \(x\ge -2\)), então \(\lvert x+2\rvert = x+2\). Agora aplico o sinal negativo externo: \[m(x) = -\lvert x+2\rvert = \begin{cases} -(-(x+2)) = x+2, & x<-2,\\[4pt] -(x+2) = -x-2, & x\ge -2. \end{cases}
Interpretação: à esquerda do ponto x=-2\] o gráfico é a reta \(y=x+2 (declive +1), e à direita (incluindo -2) é a reta y=-x-2 (declive -1). Isso descreve um “V” invertido (apex para cima? cuidado: é um V apontando para baixo — vértice máximo), com vértice onde as duas peças se encontram: em x=-2.]

Passo 5

Determinar o vértice e pontos chave:
  • Vértice (ponto onde muda a expressão) ocorre em x=-2. Calculo m(-2)= -\lvert -2+2\rvert = -\lvert 0\rvert = 0. Então vértice em (-2,0).
  • Interseção com o eixo x: solução de m(x)=0. Já temos x=-2 é solução. Não há outras porque em cada ramo as retas x+2 e -x-2 só se anulam em x=-2.
  • Interseção com o eixo y: m(0) = -\lvert 0+2\rvert = -2. Então ponto (0,-2).
  • Alguns pontos úteis para desenhar (relacionados com os valores simétricos de \lvert x\rvert):
    • x=-4: m(-4) = -\lvert -4+2\rvert = -\lvert -2\rvert = -2. Ponto (-4,-2).
    • x=-3: m(-3) = -\lvert -3+2\rvert = -1. Ponto (-3,-1).
    • x=-1: m(-1) = -\lvert -1+2\rvert = -1. Ponto (-1,-1).
      Esses pontos confirmam as retas de declive +1 à esquerda do vértice e -1 à direita.

Passo 6

Domínio, imagem e simetria:
  • Domínio: (-\infty,\infty) — mesma do valor absoluto.
  • Imagem (conjunto de valores de y): como temos reflexão de [0,\infty) (imediatamente após deslocamento o conjunto de valores ainda é [0,\infty)), multiplicando por -1 obtemos (-\infty,0]. Portanto imagem é (-\infty,0].
  • Eixo de simetria: o gráfico é simétrico em relação à reta vertical x=-2 (porque é uma versão de \lvert x\rvert deslocada).

Passo 7

Como esboçar rapidamente na prova (passo a passo prático):
  1. Marque o vértice em (-2,0).
  2. A partir do vértice, trace uma reta com declive +1 para a esquerda — use pontos (-3,-1), (-4,-2) para guiar. Essa é a expressão y=x+2 para x<-2.
  3. A partir do vértice, trace uma reta com declive -1 para a direita — use pontos (-1,-1), (0,-2) para guiar. Essa é a expressão y=-x-2 para x\ge -2.
  4. Indique claramente o domínio (seta em ambos os lados se continuar) e o fato de que o ponto (-2,0) está incluído (ponto sólido).
  5. Rotule pontos importantes: vértice (-2,0), interseção com y em (0,-2).
    Se for desenhar com papel milimetrado, pode conectar os pontos com linhas retas formando o “V” invertido.

Passo 8

Dica e reforço (curto): a operação interna x+2 corresponde sempre a mover o gráfico para a esquerda quando o sinal é +. O sinal negativo externo inverte para baixo o que antes estava para cima. Sempre procure primeiro o vértice/centro (aqui (-2,0)) e então desenhe as retas com declives conhecidos ( \pm 1 nesse caso) — isso é rápido e seguro na prova.

Resposta

Translação do gráfico de f(x)=\lvert x\rvert 2 unidades para a esquerda e reflexão em torno do eixo x; vértice em (-2,0); domínio (-\infty,\infty); imagem (-\infty,0]; interseção com y em (0,-2); forma peça‑por‑peça
m(x)=\begin{cases} x+2, & x<-2,\\[4pt] -x-2, & x\ge -2. \end{cases}]

Exercícios relacionados