Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
\quad M(x)=\sqrt{|x|}

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico de M(x)=\sqrt{|x|}, identificar a função “elementar” a partir da qual esse gráfico é obtido por transformações (translações, reflexões, modulações), e determinar o domínio e a imagem da função. Informação dada: a fórmula da função é \;M(x)=\sqrt{|x|}\;.

Passo 2

Primeira ideia pedagógica: lembrar a função elementar mais direta que aparece aqui. A função elementar é
f(x)=\sqrt{x},
definida naturalmente para x\ge 0. Vou explicar o que é essa função e como é seu gráfico: para f,
  • domínio é [0,\infty);
  • imagem é [0,\infty);
  • pontos fáceis: f(0)=0, f(1)=1, f(4)=2, f(9)=3;
  • forma do gráfico: cresce lentamente, é crescente e côncava para baixo, com inclinação que tende a +\infty quando x\to 0^+.
Essa é a “peça” básica que vamos usar para construir M.

Passo 3

Entender o efeito do valor absoluto dentro da raiz. A função dada é a composição de f\) com o módulo: \[M(x)=f(|x|)=\sqrt{|x|}.
Lembrando que
|x|=\begin{cases} x,& x\ge0,\\[4pt] -x,& x<0, \end{cases}
logo podemos escrever M\] por partes: \[M(x)=\begin{cases} \sqrt{x},& x\ge0,\\[4pt] \sqrt{-x},& x<0. \end{cases}\] Isto mostra explicitamente como a função se comporta em cada lado do eixo \(y.]

Passo 4

Identificar a transformação geométrica: a operação x\mapsto |x| corresponde a uma “dobra” horizontal do eixo x sobre o eixo y. Em termos do gráfico:
  • Comece com o gráfico de y=\sqrt{x} apenas para x\ge0 (a parte à direita do eixo y).
  • A composição com |x| copia essa curva à direita e a reflete (espelha) em relação ao eixo y para obter a parte esquerda do gráfico.
    Não há deslocamento vertical, não há deslocamento horizontal (além do fato de que f só existia para x\ge0), nem há alongamento ou compressão vertical/acima — apenas a “cópia + reflexão” horizontal. Portanto a função elementar é f(x)=\sqrt{x} e a transformação é: aplicar |x| antes de f (horizontal folding/espelhamento).

Passo 5

Como esboçar o gráfico passo a passo (instrução prática para a prova):
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque pontos da curva básica y=\sqrt{x} para x\ge0: (0,0), (1,1), (4,2), (9,3). Ligue esses pontos com uma curva suave que cresce e é côncava para baixo, lembrando que a inclinação fica muito grande perto de x=0.
  3. Replique esses mesmos pontos refletidos em relação ao eixo y: (-1,1), (-4,2), (-9,3). Ligue-os com a imagem espelhada da curva.
  4. O resultado é uma curva em forma de “V arredondado” na base: pontiaguda no sentido de ter derivada verticalmente divergente em 0, mas lisa a partir de fora. A curva é simétrica em relação ao eixo y.
Dica prática: basta desenhar a metade direita y=\sqrt{x} e copiá-la invertendo x\to -x para a metade esquerda.

Passo 6

Propriedade importante — paridade: M é função par. Demonstração direta:
M(-x)=\sqrt{|-x|}=\sqrt{|x|}=M(x).
Assim o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 7

Determinar o domínio (explicação didática): a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Aqui o radicando é |x|, e para todo x\in\mathbb{R} tem-se |x|\ge0. Portanto não há restrição sobre x:
\text{Domínio}(M)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x|\ge0\}=(-\infty,\infty).í
Ou seja, todos os números reais são permitidos como entrada.

Passo 8

Determinar a imagem (explicação didática): a raiz quadrada produz sempre valores não negativos. Logo M(x)\ge 0 para todo x. Mostro também que todo y\ge0 é atingido: dado y\ge0, escolhe-se x=y^2 (ou x=-y^2); então M(y^2)=\sqrt{|y^2|}=\sqrt{y^2}=y. Assim a imagem é exatamente os números não negativos:
\text{Imagem}(M)=[0,\infty).

Passo 9

Observações adicionais úteis para prova (regularidade e comportamento):
  • Para x>0 tem-se derivada
M'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Para x<0 (lembrando que então |x|=-x) tem-se derivada
M'(x)=\frac{d}{dx}\sqrt{-x}=-\frac{1}{2\sqrt{-x}}.
  • Em x=0 a derivada não existe: as derivadas laterais têm módulo que tende a +\infty (lado direito) e -\infty (lado esquerdo) — isto explica a “pontinha” do gráfico em 0.
  • Comportamento para grandes |x|: \lim_{x\to\pm\infty}\sqrt{|x|}=\infty, a função cresce sem limite quando |x| aumenta.

Passo 10

Resumo curto do que foi pedido (para gravar rápido antes da prova): a função é obtida a partir de y=\sqrt{x} (metade direita) e copiando-a simetricamente para a esquerda via x\mapsto -x; domínio todos os reais; imagem todos os reais não negativos.

Resposta

Função elementar: f(x)=\sqrt{x}. Transformação: M(x)=f(|x|) — pega a rama direita de y=\sqrt{x} e a reflete em relação ao eixo y (dobramento horizontal).
Domínio: (-\infty,\infty).
Imagem: [0,\infty).

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