Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico de
, identificar a função “elementar” a partir da qual esse gráfico é obtido por transformações (translações, reflexões, modulações), e determinar o domínio e a imagem da função. Informação dada: a fórmula da função é
.
Passo 2
Primeira ideia pedagógica: lembrar a função elementar mais direta que aparece aqui. A função elementar é
definida naturalmente para
. Vou explicar o que é essa função e como é seu gráfico: para
,
- domínio é
; - imagem é
; - pontos fáceis:
, , , ; - forma do gráfico: cresce lentamente, é crescente e côncava para baixo, com inclinação que tende a
quando .
Essa é a “peça” básica que vamos usar para construir
.
Passo 3
Entender o efeito do valor absoluto dentro da raiz. A função dada é a composição de
Lembrando que
logo podemos escrever
.]
Passo 4
Identificar a transformação geométrica: a operação
corresponde a uma “dobra” horizontal do eixo
sobre o eixo
. Em termos do gráfico:
- Comece com o gráfico de
apenas para (a parte à direita do eixo ). - A composição com
copia essa curva à direita e a reflete (espelha) em relação ao eixo para obter a parte esquerda do gráfico.
Não há deslocamento vertical, não há deslocamento horizontal (além do fato de quesó existia para ), nem há alongamento ou compressão vertical/acima — apenas a “cópia + reflexão” horizontal. Portanto a função elementar é e a transformação é: aplicar antes de (horizontal folding/espelhamento).
Passo 5
Como esboçar o gráfico passo a passo (instrução prática para a prova):
- Trace os eixos
e . - Marque pontos da curva básica
para : , , , . Ligue esses pontos com uma curva suave que cresce e é côncava para baixo, lembrando que a inclinação fica muito grande perto de . - Replique esses mesmos pontos refletidos em relação ao eixo
: , , . Ligue-os com a imagem espelhada da curva. - O resultado é uma curva em forma de “V arredondado” na base: pontiaguda no sentido de ter derivada verticalmente divergente em
, mas lisa a partir de fora. A curva é simétrica em relação ao eixo .
Dica prática: basta desenhar a metade direita
e copiá-la invertendo
para a metade esquerda.
Passo 6
Propriedade importante — paridade:
é função par. Demonstração direta:
Assim o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 7
Determinar o domínio (explicação didática): a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Aqui o radicando é
, e para todo
tem-se
. Portanto não há restrição sobre
:
Ou seja, todos os números reais são permitidos como entrada.
Passo 8
Determinar a imagem (explicação didática): a raiz quadrada produz sempre valores não negativos. Logo
para todo
. Mostro também que todo
é atingido: dado
, escolhe-se
(ou
); então
. Assim a imagem é exatamente os números não negativos:
Passo 9
Observações adicionais úteis para prova (regularidade e comportamento):
- Para
tem-se derivada
- Para
(lembrando que então ) tem-se derivada
- Em
a derivada não existe: as derivadas laterais têm módulo que tende a (lado direito) e (lado esquerdo) — isto explica a “pontinha” do gráfico em . - Comportamento para grandes
: , a função cresce sem limite quando aumenta.
Passo 10
Resumo curto do que foi pedido (para gravar rápido antes da prova): a função é obtida a partir de
(metade direita) e copiando-a simetricamente para a esquerda via
; domínio todos os reais; imagem todos os reais não negativos.
Resposta
Função elementar:
. Transformação:
— pega a rama direita de
e a reflete em relação ao eixo
(dobramento horizontal).
Domínio: .
Imagem: .
Domínio:
Imagem: