Verifique que, para todo natural
, tem-se
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar duas igualdades envolvendo a integral
para todo natural
:
- (a) mostrar que
- (b) mostrar que
Informações relevantes: o integrando é uma função polinomial em
(para cada
fixo) e as integrais são definidas no intervalo
. Não há outras hipóteses escondidas.
Passo 2
Defino a notação curta que vou usar durante a resolução:
Meta imediata: obter uma relação entre
e
. Uma ferramenta clássica para relacionar integrais deste tipo é a integração por partes. Vou lembrar a fórmula e explicar bem.
Passo 3
Lembrete sobre integração por partes (fórmula e o que significa): se
e
são funções diferenciáveis então vale
Aqui
é a diferencial de
(ou
) e
é uma primitiva de
. A ideia é escolher
e
de modo que
seja mais simples que a integral original.
Passo 4
Escolho, para aplicar integração por partes na integral
,
Então preciso calcular
e
:
- Diferenciando
em relação a :
- Uma primitiva de
é
Passo 5
Agora aplico a fórmula de integração por partes:
Simplificando o sinal no segundo termo:
Passo 6
Calculo do termo de fronteira
. Avaliando nos extremos:
- Em
: , logo o produto vale . - Em
: .
Portanto o termo de fronteira é zero e fica
Passo 7
Transformo a integral que apareceu usando
. Assim
Distribuindo:
Em notação curta:
Passo 8
Substituo essa expressão em
:
Agora resolvo essa equação para
. Expandindo:
Reagrupando termos com
no lado esquerdo:
Ou seja
Passo 9
Finalmente isolando
obtenho a relação pedida em (a):
Isto prova a parte (a). Pequeno comentário: essa é uma relação de recorrência que expressa
em termos de
.
Passo 10
Para a parte (b) uso a recorrência do passo anterior repetidamente, começando de um caso base fácil. Primeiro calcule
:
Passo 11
Aplicando a recorrência
para
e multiplicando todas as fórmulas obtém-se
Como
, temos
Passo 12
Agora simplifico o produto em termos de fatoriais. Primeiro manipulo separando numerador e denominador:
Preciso reescrever
em termos de fatoriais. Uso a fatoração de
separando os fatores pares e ímpares:
Aqui a primeira parte
e a segunda parte é
. Como
, segue
Passo 13
Isolando
da expressão anterior:
Substituo essa expressão no resultado do passo 12:
Passo 14
Portanto a expressão fechada para
está demonstrada, o que completa a parte (b). Pequena checagem rápida (opcional): para
,
e a fórmula dá
concordando — bom sinal.