Verifique que, para todo natural n \geqslant 1, tem-se
a) \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} d x=\frac{2 n}{2 n+1} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n-1} d x
b) \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} d x=\frac{2^{2 n}(n!)^{2}}{(2 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas igualdades envolvendo a integral
I_n=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n}\,dx
para todo natural n\geqslant 1:
  • (a) mostrar que
\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} dx=\frac{2n}{2n+1}\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n-1} dx.
  • (b) mostrar que
\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} dx=\frac{2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}.
Informações relevantes: o integrando é uma função polinomial em x (para cada n fixo) e as integrais são definidas no intervalo [0,1]. Não há outras hipóteses escondidas.

Passo 2

Defino a notação curta que vou usar durante a resolução:
I_n=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n}\,dx.
Meta imediata: obter uma relação entre I_n e I_{n-1}. Uma ferramenta clássica para relacionar integrais deste tipo é a integração por partes. Vou lembrar a fórmula e explicar bem.

Passo 3

Lembrete sobre integração por partes (fórmula e o que significa): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis então vale
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui du é a diferencial de u (ou u'(x)\,dx) e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u e dv de modo que \int v\,du seja mais simples que a integral original.

Passo 4

Escolho, para aplicar integração por partes na integral I_n,
u=(1-x^{2})^{n},\qquad dv=dx.
Então preciso calcular du e v:
  • Diferenciando u em relação a x:
du = \frac{d}{dx}\big((1-x^{2})^{n}\big)\,dx = -2n x(1-x^{2})^{\,n-1}\,dx.
  • Uma primitiva de dv=dx é
v=x.

Passo 5

Agora aplico a fórmula de integração por partes:
\int_{0}^{1} (1-x^{2})^{n}\,dx = \big[x(1-x^{2})^{n}\big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x\big(-2n x(1-x^{2})^{n-1}\big)\,dx.
Simplificando o sinal no segundo termo:
I_n = \big[x(1-x^{2})^{n}\big]_{0}^{1} + 2n\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{n-1}\,dx.

Passo 6

Calculo do termo de fronteira \big[x(1-x^{2})^{n}\big]_{0}^{1}. Avaliando nos extremos:
  • Em x=1: (1-x^{2})^{n}=(1-1)^{n}=0, logo o produto vale 1\cdot 0=0.
  • Em x=0: x(1-x^{2})^{n}=0\cdot 1=0.
    Portanto o termo de fronteira é zero e fica
I_n = 2n\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{n-1}\,dx.

Passo 7

Transformo a integral que apareceu usando x^{2}=1-(1-x^{2}). Assim
\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{n-1}\,dx = \int_{0}^{1} \big(1-(1-x^{2})\big)(1-x^{2})^{n-1}\,dx.
Distribuindo:
\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{n-1}\,dx = \int_{0}^{1} (1-x^{2})^{n-1}\,dx - \int_{0}^{1} (1-x^{2})^{n}\,dx.
Em notação curta:
\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{n-1}\,dx = I_{n-1} - I_n.

Passo 8

Substituo essa expressão em I_n = 2n\int_{0}^{1} x^{2}(1-x^{2})^{n-1}\,dx:
I_n = 2n\big(I_{n-1}-I_n\big).
Agora resolvo essa equação para I_n. Expandindo:
I_n = 2n I_{n-1} - 2n I_n.
Reagrupando termos com I_n no lado esquerdo:
I_n + 2n I_n = 2n I_{n-1}.
Ou seja
(2n+1)I_n = 2n I_{n-1}.

Passo 9

Finalmente isolando I_n obtenho a relação pedida em (a):
I_n = \frac{2n}{2n+1}\,I_{n-1}.
Isto prova a parte (a). Pequeno comentário: essa é uma relação de recorrência que expressa I_n em termos de I_{n-1}.

Passo 10

Para a parte (b) uso a recorrência do passo anterior repetidamente, começando de um caso base fácil. Primeiro calcule I_0:
I_0=\int_{0}^{1} (1-x^{2})^{0}\,dx=\int_{0}^{1} 1\,dx = 1.

Passo 11

Aplicando a recorrência I_k=\dfrac{2k}{2k+1}I_{k-1} para k=1,2,\dots,n e multiplicando todas as fórmulas obtém-se
I_n = \prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}\;I_{0}.
Como I_0=1, temos
I_n = \prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}.

Passo 12

Agora simplifico o produto em termos de fatoriais. Primeiro manipulo separando numerador e denominador:
\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1} = \frac{\prod_{k=1}^{n}2k}{\prod_{k=1}^{n}(2k+1)} = \frac{2^{n}n!}{\prod_{k=1}^{n}(2k+1)}.
Preciso reescrever \prod_{k=1}^{n}(2k+1) em termos de fatoriais. Uso a fatoração de (2n+1)! separando os fatores pares e ímpares:
(2n+1)! = \prod_{j=1}^{2n+1} j = \Big(\prod_{k=1}^{n} 2k\Big)\cdot\Big(\prod_{k=0}^{n} (2k+1)\Big).
Aqui a primeira parte \prod_{k=1}^{n}2k = 2^{n} n! e a segunda parte é \prod_{k=0}^{n}(2k+1). Como \prod_{k=0}^{n}(2k+1)=1\cdot\prod_{k=1}^{n}(2k+1), segue
(2n+1)! = 2^{n} n! \cdot \prod_{k=1}^{n}(2k+1).

Passo 13

Isolando \prod_{k=1}^{n}(2k+1) da expressão anterior:
\prod_{k=1}^{n}(2k+1) = \frac{(2n+1)!}{2^{n} n!}.
Substituo essa expressão no resultado do passo 12:
I_n = \frac{2^{n} n!}{\dfrac{(2n+1)!}{2^{n} n!}} = \frac{2^{n} n!\cdot 2^{n} n!}{(2n+1)!} = \frac{2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}.

Passo 14

Portanto a expressão fechada para I_n está demonstrada, o que completa a parte (b). Pequena checagem rápida (opcional): para n=1,
I_1=\int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx=\left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3},
e a fórmula dá
\frac{2^{2}(1!)^{2}}{3!}=\frac{4\cdot 1}{6}=\frac{2}{3},
concordando — bom sinal.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} dx=\frac{2n}{2n+1}\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n-1} dx\n
\displaystyle \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} dx=\frac{2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}

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