Sejam
e
dois naturais diferentes de zero. Verifique que
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá dois naturais
e
diferentes de zero e pede duas coisas sobre a integral
As perguntas são:
(a) Mostrar que
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
Informações relevantes dadas:
e
são inteiros positivos (ou seja,
). Nada mais é fornecido. A resolução começará a partir daqui.
Passo 2
Vamos provar (a). Vou usar a fórmula de integração por partes para integrais definidas. A fórmula (em forma útil para nós) é:
onde
e
são funções diferenciáveis e
é diferencial de
.
Escolho as funções de modo a simplificar a integral:
-
. Então -
. Então
Agora aplico integração por partes na integral
:
Passo 3
Analisando o termo de fronteira:
porque
garante que
e
. Assim só fica a integral do segundo termo. Substituindo e simplificando os sinais:
Isto é exatamente a identidade pedida em (a). Portanto (a) está verificada.
Passo 4
Agora vamos usar (a) para obter (b). A ideia é aplicar a relação de recorrência do Passo 3 repetidas vezes, diminuindo o expoente de
até chegar a
. Escrevo a relação de forma compacta:
Aplicando essa relação novamente a
:
Se repetirmos isso
vezes (cada vez aumentamos o expoente de
em
e diminuímos o de
em
), obtemos:
Passo 5
Calculo
. Quando
a integral é simples:
Substituo isso na expressão do Passo 4:
onde reindexei o numerador para ver o produto
.
Agora escrevo o produto de forma conhecida em termos de fatoriais. O numerador do produto é
O denominador do produto é
Multiplicando ainda pelo fator
obtemos para
:
Mas
. Portanto
Passo 6
Fizemos uma dedução completa: partindo da integração por partes obtivemos a relação de recorrência (a) e, aplicando-a repetidamente e simplificando com produtos e fatoriais, chegamos à fórmula explícita pedida em (b). Para reforçar: cada aplicação da recorrência reduz o expoente de
em
e aumenta o expoente de
em
, e os termos de fronteira sempre anulam porque
.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)