Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
H(x)=\sqrt{9-x}-2

Passo 1

O enunciado pede:
  • Esboçar o gráfico da função H(x)=\sqrt{9-x}-2.
  • Identificar qual é a função “elementar” de partida e quais transformações foram aplicadas (translações horizontais/verticais, reflexões, modulações).
  • Determinar o domínio e a imagem (contraparte: intervalo de valores possíveis de x e de H(x)).
Informação dada: a fórmula da função é H(x)=\sqrt{9-x}-2. Não há figura fornecida.

Passo 2

Escolha da função elementar e ideia geral das transformações (sem calcular ainda).
  • A função elementar natural para H é f(x)=\sqrt{x}. Essa é a raiz quadrada clássica: definida para argumentos \ge 0, começa em x=0 com f(0)=0 e cresce lentamente para a direita.
  • Para obter H a partir de f precisamos ver como a expressão dentro da raiz e o termo subtraído atuam. A expressão dentro da raiz é 9-x, que envolve uma reflexão horizontal e uma translação horizontal; o -2 fora da raiz é uma translação vertical para baixo.

Passo 3

Explicação detalhada das transformações (ordem e efeito).
  • Começamos com f(x)=\sqrt{x}.
  • Reflexão em torno do eixo y: substituir x por -x f(-x)=\sqrt{-x}. Geometricamente, isso espelha o gráfico de f em relação ao eixo vertical: o ramo que antes ia para a direita agora “vai” para a esquerda.
  • Translação horizontal para a direita de 9 unidades: substituir x por x-9 na função refletida dá f(-(x-9))=\sqrt{-(x-9)}=\sqrt{9-x}. Interpretação: pegou-se o gráfico refletido \sqrt{-x} e deslocou-se 9 unidades para a direita; o efeito combinado é que a “origem” do ramo fica agora em x=9.
  • Translação vertical para baixo de 2 unidades: subtrair 2 do y transforma \sqrt{9-x} em \sqrt{9-x}-2. Isso baixa todo o gráfico em 2 unidades.
Resumo (sequência): partir de f(x)=\sqrt{x} → refletir no eixo y → deslocar para a direita 9 unidades → deslocar para baixo 2 unidades. Em fórmula: H(x)=f(-(x-9))-2.

Passo 4

Propriedades da raiz e consequências para domínio (explicação didática).
  • Regra importante: a raiz quadrada real \sqrt{u} só está definida quando o argumento u é maior ou igual a zero: u\ge 0.
  • No nosso caso o argumento é 9-x. Então impomos:
9-x \ge 0.
  • Resolver essa desigualdade: subtrair 9 e multiplicar por -1 (lembrando que multiplicar por -1 inverte o sinal da desigualdade) dá
x \le 9.
  • Portanto o domínio (conjunto de x onde a função é real) é
\text{Domínio} = (-\infty,\,9].í

Passo 5

Determinação da imagem (faixa de valores de H(x)), com explicação passo a passo.
  • Comece observando a parte \sqrt{9-x}. Como 9-x\ge 0 no domínio, \sqrt{9-x} produz valores em
[0,\infty).
(Explicação: o mínimo ocorre quando 9-x=0, isto é x=9, dando \sqrt{0}=0; à medida que x vai para -\infty, 9-x\to+\infty e a raiz cresce sem limite.)
  • Agora aplicamos a tradução vertical -2: H(x)=\sqrt{9-x}-2. Subtrair 2 desloca todo o intervalo para baixo em 2 unidades, então a imagem passa a ser
[-2,\infty).
(Explicação: o menor valor é 0-2=-2 atingido em x=9; não há teto superior.)

Passo 6

Pontos notáveis e comportamento do gráfico — usados para esboçar.
  • Valor no ponto extremo direito do domínio:
H(9)=\sqrt{9-9}-2=\sqrt{0}-2=-2.
Logo o gráfico começa (ou termina, dependendo da leitura) em (9,-2).
  • Alguns pontos intermediários úteis:
H(8)=\sqrt{9-8}-2=\sqrt{1}-2=1-2=-1,
H(5)=\sqrt{9-5}-2=\sqrt{4}-2=2-2=0,
H(0)=\sqrt{9-0}-2=\sqrt{9}-2=3-2=1.
  • Com esses pontos dá para traçar a curva: para x próximo de 9 o valor de H está perto de -2; ao reduzir x (ir para a esquerda) o valor cresce; conforme x\to -\infty, H(x)\to+\infty. O ramo é suave, parecido com a raiz quadrada habitual, só que virado para a esquerda e deslocado para baixo.

Passo 7

Descrição do esboço (como desenhar na prova, passo a passo prático).
  • Marque o ponto (9,-2) — é o “início” do ramo.
  • Marque os pontos (8,-1), (5,0), (0,1) para guiar a forma.
  • Desenhe uma curva que parte em (9,-2) e sobe à medida que vai para a esquerda, com a mesma curvatura suave característica de uma raiz quadrada. Não existe ramo para x>9.
  • Indique setas apenas para a direção x\to -\infty mostrando que H(x) cresce sem limite para cima.

Passo 8

Resumo final das transformações e dos resultados, em linguagem breve e direta:
  • Função elementar: f(x)=\sqrt{x}.
  • Transformações aplicadas: refletir em torno do eixo y ( x\to -x), transladar horizontalmente para a direita em 9 unidades ( x\to x-9), e transladar verticalmente para baixo em 2 unidades ( y\to y-2).

Resposta

Função elementar e transformações: partir de f(x)=\sqrt{x}; refletir no eixo y (obter \sqrt{-x}); transladar 9 unidades para a direita (obter \sqrt{9-x}); transladar 2 unidades para baixo (obter \sqrt{9-x}-2).
Domínio: (-\infty,\,9]
Imagem: [-2,\,\infty)

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