Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede:
- Esboçar o gráfico da função
. - Identificar qual é a função “elementar” de partida e quais transformações foram aplicadas (translações horizontais/verticais, reflexões, modulações).
- Determinar o domínio e a imagem (contraparte: intervalo de valores possíveis de
e de ).
Informação dada: a fórmula da função é
. Não há figura fornecida.
Passo 2
Escolha da função elementar e ideia geral das transformações (sem calcular ainda).
- A função elementar natural para
é . Essa é a raiz quadrada clássica: definida para argumentos , começa em com e cresce lentamente para a direita. - Para obter
a partir de precisamos ver como a expressão dentro da raiz e o termo subtraído atuam. A expressão dentro da raiz é , que envolve uma reflexão horizontal e uma translação horizontal; o fora da raiz é uma translação vertical para baixo.
Passo 3
Explicação detalhada das transformações (ordem e efeito).
- Começamos com
. - Reflexão em torno do eixo
: substituir por dá . Geometricamente, isso espelha o gráfico de em relação ao eixo vertical: o ramo que antes ia para a direita agora “vai” para a esquerda. - Translação horizontal para a direita de
unidades: substituir por na função refletida dá . Interpretação: pegou-se o gráfico refletido e deslocou-se 9 unidades para a direita; o efeito combinado é que a “origem” do ramo fica agora em . - Translação vertical para baixo de
unidades: subtrair do transforma em . Isso baixa todo o gráfico em unidades.
Resumo (sequência): partir de
→ refletir no eixo
→ deslocar para a direita
unidades → deslocar para baixo
unidades. Em fórmula:
.
Passo 4
Propriedades da raiz e consequências para domínio (explicação didática).
- Regra importante: a raiz quadrada real
só está definida quando o argumento é maior ou igual a zero: . - No nosso caso o argumento é
. Então impomos:
- Resolver essa desigualdade: subtrair
e multiplicar por (lembrando que multiplicar por inverte o sinal da desigualdade) dá
- Portanto o domínio (conjunto de
onde a função é real) é
Passo 5
Determinação da imagem (faixa de valores de
), com explicação passo a passo.
- Comece observando a parte
. Como no domínio, produz valores em
(Explicação: o mínimo ocorre quando
, isto é
, dando
; à medida que
vai para
,
e a raiz cresce sem limite.)
- Agora aplicamos a tradução vertical
: . Subtrair desloca todo o intervalo para baixo em unidades, então a imagem passa a ser
(Explicação: o menor valor é
atingido em
; não há teto superior.)
Passo 6
Pontos notáveis e comportamento do gráfico — usados para esboçar.
- Valor no ponto extremo direito do domínio:
Logo o gráfico começa (ou termina, dependendo da leitura) em
.
- Alguns pontos intermediários úteis:
- Com esses pontos dá para traçar a curva: para
próximo de o valor de está perto de ; ao reduzir (ir para a esquerda) o valor cresce; conforme , . O ramo é suave, parecido com a raiz quadrada habitual, só que virado para a esquerda e deslocado para baixo.
Passo 7
Descrição do esboço (como desenhar na prova, passo a passo prático).
- Marque o ponto
— é o “início” do ramo. - Marque os pontos
, , para guiar a forma. - Desenhe uma curva que parte em
e sobe à medida que vai para a esquerda, com a mesma curvatura suave característica de uma raiz quadrada. Não existe ramo para . - Indique setas apenas para a direção
mostrando que cresce sem limite para cima.
Passo 8
Resumo final das transformações e dos resultados, em linguagem breve e direta:
- Função elementar:
. - Transformações aplicadas: refletir em torno do eixo
( ), transladar horizontalmente para a direita em unidades ( ), e transladar verticalmente para baixo em unidades ( ).
Resposta
Função elementar e transformações: partir de
; refletir no eixo
(obter
); transladar 9 unidades para a direita (obter
); transladar 2 unidades para baixo (obter
).
Domínio:
Imagem:
Domínio:
Imagem: