Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
J(x)=3-\sqrt{4-x}

Passo 1

O enunciado pede que eu (i) esboce o gráfico da função J(x)=3-\sqrt{4-x}, (ii) identifique qual é a função “elementar” a partir da qual J é obtida e descreva as transformações (translações, reflexões, etc.), e (iii) determine o domínio e a imagem (conjunto-valor) de J.
Informação dada: a fórmula da função é J(x)=3-\sqrt{4-x}. Nenhuma outra figura foi fornecida.

Passo 2

Identificar a função elementar de partida. A parte com raiz quadrada indica que a função elementar natural é
f(x)=\sqrt{x}.
Vou escrever J como composição envolvendo f. Note que
J(x)=3-\sqrt{4-x}=3-f(4-x).
Isso mostra que J é obtida a partir de f(x)=\sqrt{x} aplicando transformações horizontais/verticais e reflexões.

Passo 3

Explicar as transformações passo a passo (ordem que vou usar: primeiro transformações horizontais sobre f, depois reflexões e translações verticais — isso facilita entender o domínio e a forma):
  1. Translação horizontal para a direita de 4: substituir x por x-4 f(x-4)=\sqrt{x-4}. Geometricamente isso desloca o gráfico de f (que começa em x=0) de modo que o novo gráfico começa em x=4.
  2. Reflexão horizontal (refletir em torno do eixo y): substituir x por -(x-4) transforma \sqrt{x-4} em \sqrt{-(x-4)}=\sqrt{4-x}. Essa reflexão faz com que a “cauda” da raiz, que antes seguia para a direita, passe a seguir para a esquerda; agora o ponto inicial fica em x=4 e o domínio vai para a esquerda.
  3. Reflexão vertical (refletir em torno do eixo x): multiplicar por -1 transforma \sqrt{4-x} em -\sqrt{4-x}. Isso inverte a concavidade vertical: a curva de raiz que subia (valores crescentes) passa a descer a partir do ponto inicial.
  4. Translação vertical para cima de 3: somar 3 transforma -\sqrt{4-x} em 3-\sqrt{4-x}. Isso desloca o gráfico verticalmente para cima por 3 unidades.
Resumo das transformações (em relação a f(x)=\sqrt{x}):
  • Translação horizontal: x\mapsto x-4 (deslocar o gráfico de f para a direita em 4);
  • Reflexão horizontal: refletir em torno do eixo y (essa ação sobre o gráfico já deslocado produz \sqrt{4-x});
  • Reflexão vertical: multiplicar por -1 (gera -\sqrt{4-x});
  • Translação vertical: somar 3 (gera 3-\sqrt{4-x}).
Observação: a ordem de descrição acima é uma forma conveniente de visualizar; analiticamente J(x)=3-f(4-x) resume tudo.

Passo 4

Determinar o domínio. A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Então imponho
4-x \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \le 4.
Portanto o domínio de J é
\text{Dom}(J)=\big(-\infty,\,4\big].
Comentário didático curto: originalmente f(x)=\sqrt{x} tem domínio [0,\infty). Após a tradução para a direita em 4 (substituição x\mapsto x-4) o domínio vira [4,\infty); a reflexão horizontal troca a direção e transforma esse intervalo em (-\infty,4], que é exatamente o domínio de J.

Passo 5

Determinar a imagem (conjunto-valor). Primeiro note que \sqrt{4-x} é sempre \ge 0. Assim 3-\sqrt{4-x} satisfaz
3-\sqrt{4-x} \le 3,
pois se subtrai um número não negativo de 3. O valor máximo ocorre quando o subtraendo é mínimo; o mínimo de \sqrt{4-x} no domínio é 0, que acontece em x=4. Então
\max J = J(4)=3-\sqrt{0}=3.
Para valores de x muito negativos, 4-x fica muito grande, \sqrt{4-x}\to+\infty, e portanto J(x)=3-\sqrt{4-x}\to -\infty. Logo todos os valores menores que ou iguais a 3 aparecem. Concluímos que a imagem é
\text{Im}(J)=\big(-\infty,\,3\big].

Passo 6

Analisar monotonicidade e forma do gráfico (para ajudar no esboço): calcule a derivada para ver se a função cresce ou decresce no domínio interior.
Seja h(x)=\sqrt{4-x}. A derivada de h (usando regra da cadeia) é
h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{4-x}}\cdot(4-x)'\\ =\\ \frac{1}{2\sqrt{4-x}}\cdot(-1)\\ =\\\ -\frac{1}{2\sqrt{4-x}}.
Então a derivada de J é
J'(x) = -h'(x)= -\bigg(-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}\bigg)=\frac{1}{2\sqrt{4-x}}.
Para todo x<4 essa derivada é positiva, logo J é estritamente crescente em (-\infty,4). Isso confirma a interpretação geométrica: a curva vem de -\infty à esquerda e aumenta até atingir o valor 3 em x=4.

Passo 7

Calcular pontos importantes para orientar o esboço:
  • Valor em x=4: J(4)=3-\sqrt{0}=3. Esse é o ponto extremo superior (4,3).
  • Intercepto com o eixo y ( x=0): J(0)=3-\sqrt{4}=3-2=1. Portanto o gráfico passa por (0,1).
  • Intercepto com o eixo x ( J(x)=0): resolver 3-\sqrt{4-x}=0\Rightarrow \sqrt{4-x}=3\Rightarrow 4-x=9\Rightarrow x=-5. Então cruza o eixo x em (-5,0).
  • Comportamento à esquerda: quando x\to -\infty, J(x)\to -\infty.
Esses pontos e o comportamento assintótico bastam para um esboço fiel: uma curva suave, monotonicamente crescente, que para x\le 4 sobe até (4,3) e para x\to -\infty vai para -\infty.

Passo 8

Como esboçar na prova (passo a passo prático que você pode reproduzir sem decorar muita teoria):
  1. Marque o ponto (4,3) — é o “ponto de partida” (extremo direito do gráfico).
  2. Marque (0,1) e (-5,0) para ter referências de escala.
  3. Desenhe uma curva suave, com concavidade voltada para baixo quando observada localmente (é a forma de -\sqrt{\cdot}), que passe por esses pontos, seja crescente e se estenda para a esquerda descendo indefinidamente.
  4. Não existirá gráfico para x>4 (fora do domínio).
Dica amiga: pensar em começar com y=\sqrt{x} e aplicar na cabeça as transformações (deslocar, refletir, inverter verticalmente e subir) é a maneira mais rápida de produzir o esboço confiável durante uma prova.

Resposta

Função elementar: f(x)=\sqrt{x}.
Transformações: deslocar f para a direita em 4 (substituir x por x-4), refletir horizontalmente (obter \sqrt{4-x}), refletir verticalmente (obter -\sqrt{4-x}), e deslocar verticalmente para cima em 3 (obter 3-\sqrt{4-x}).
Domínio: \big(-\infty,\,4\big].
Imagem: \big(-\infty,\,3\big].

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