Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede que eu (i) esboce o gráfico da função
, (ii) identifique qual é a função “elementar” a partir da qual
é obtida e descreva as transformações (translações, reflexões, etc.), e (iii) determine o domínio e a imagem (conjunto-valor) de
.
Informação dada: a fórmula da função é . Nenhuma outra figura foi fornecida.
Informação dada: a fórmula da função é
Passo 2
Identificar a função elementar de partida. A parte com raiz quadrada indica que a função elementar natural é
Vou escrever
como composição envolvendo
. Note que
Isso mostra que
é obtida a partir de
aplicando transformações horizontais/verticais e reflexões.
Passo 3
Explicar as transformações passo a passo (ordem que vou usar: primeiro transformações horizontais sobre
, depois reflexões e translações verticais — isso facilita entender o domínio e a forma):
-
Translação horizontal para a direita de
: substituir por dá . Geometricamente isso desloca o gráfico de (que começa em ) de modo que o novo gráfico começa em . -
Reflexão horizontal (refletir em torno do eixo
): substituir por transforma em . Essa reflexão faz com que a “cauda” da raiz, que antes seguia para a direita, passe a seguir para a esquerda; agora o ponto inicial fica em e o domínio vai para a esquerda. -
Reflexão vertical (refletir em torno do eixo
): multiplicar por transforma em . Isso inverte a concavidade vertical: a curva de raiz que subia (valores crescentes) passa a descer a partir do ponto inicial. -
Translação vertical para cima de
: somar transforma em . Isso desloca o gráfico verticalmente para cima por unidades.
Resumo das transformações (em relação a
):
- Translação horizontal:
(deslocar o gráfico de para a direita em ); - Reflexão horizontal: refletir em torno do eixo
(essa ação sobre o gráfico já deslocado produz ); - Reflexão vertical: multiplicar por
(gera ); - Translação vertical: somar
(gera ).
Observação: a ordem de descrição acima é uma forma conveniente de visualizar; analiticamente
resume tudo.
Passo 4
Determinar o domínio. A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo. Então imponho
Portanto o domínio de
é
Comentário didático curto: originalmente
tem domínio
. Após a tradução para a direita em
(substituição
) o domínio vira
; a reflexão horizontal troca a direção e transforma esse intervalo em
, que é exatamente o domínio de
.
Passo 5
Determinar a imagem (conjunto-valor). Primeiro note que
é sempre
. Assim
satisfaz
pois se subtrai um número não negativo de
. O valor máximo ocorre quando o subtraendo é mínimo; o mínimo de
no domínio é
, que acontece em
. Então
Para valores de
muito negativos,
fica muito grande,
, e portanto
. Logo todos os valores menores que ou iguais a
aparecem. Concluímos que a imagem é
Passo 6
Analisar monotonicidade e forma do gráfico (para ajudar no esboço): calcule a derivada para ver se a função cresce ou decresce no domínio interior.
Seja
. A derivada de
(usando regra da cadeia) é
Então a derivada de
é
Para todo
essa derivada é positiva, logo
é estritamente crescente em
. Isso confirma a interpretação geométrica: a curva vem de
à esquerda e aumenta até atingir o valor
em
.
Passo 7
Calcular pontos importantes para orientar o esboço:
- Valor em
: . Esse é o ponto extremo superior . - Intercepto com o eixo
( ): . Portanto o gráfico passa por . - Intercepto com o eixo
( ): resolver . Então cruza o eixo em . - Comportamento à esquerda: quando
, .
Esses pontos e o comportamento assintótico bastam para um esboço fiel: uma curva suave, monotonicamente crescente, que para
sobe até
e para
vai para
.
Passo 8
Como esboçar na prova (passo a passo prático que você pode reproduzir sem decorar muita teoria):
- Marque o ponto
— é o “ponto de partida” (extremo direito do gráfico). - Marque
e para ter referências de escala. - Desenhe uma curva suave, com concavidade voltada para baixo quando observada localmente (é a forma de
), que passe por esses pontos, seja crescente e se estenda para a esquerda descendo indefinidamente. - Não existirá gráfico para
(fora do domínio).
Dica amiga: pensar em começar com
e aplicar na cabeça as transformações (deslocar, refletir, inverter verticalmente e subir) é a maneira mais rápida de produzir o esboço confiável durante uma prova.
Resposta
Função elementar:
.
Transformações: deslocar para a direita em
(substituir
por
), refletir horizontalmente (obter
), refletir verticalmente (obter
), e deslocar verticalmente para cima em
(obter
).
Domínio: .
Imagem: .
Transformações: deslocar
Domínio:
Imagem: