Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
K(x)=\sqrt{|x-4|}-3

Passo 1

O enunciado nos dá a função K(x)=\sqrt{|x-4|}-3. O que pede:
  • Esboçar o gráfico de K(x).
  • Identificar uma função “elementar” a partir da qual obtemos K por transformações (translações, reflexões, modulações).
  • Descrever as transformações ocorridas (em ordem).
  • Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis de x e de K(x)).
Informações fornecidas: a expressão K(x)=\sqrt{|x-4|}-3 (peguei isso do enunciado). Nenhuma figura adicional foi dada.

Passo 2

Vamos começar apresentando a função elementar que vamos usar como base e relembrando suas propriedades básicas.
Escolha da função elementar: usemos a função
f(t)=\sqrt{t},
com variável independente t. Esta é a raiz quadrada padrão.
O que é importante saber sobre f(t)=\sqrt{t}:
  • Domínio de f: [0,\infty), porque dentro da raiz precisamos de t\ge 0.
  • Imagem de f: [0,\infty), porque a raiz quadrada produz valores não negativos.
  • Formato do gráfico: começa em (0,0) e cresce para a direita de forma cada vez mais lenta (é crescente e côncava para baixo). Isso é o “ramo direito” clássico que usamos como peça básica.
Vou usar f como a peça que será transformada para obter K.

Passo 3

Entendendo a parte interna [|x-4|).
A função valor absoluto tem a propriedade de tornar o argumento não negativo:
|x-4| = \begin{cases} x-4, & x\ge 4,\\[4pt] 4-x, & x<4. \end{cases}
Isso significa que |x-4| \ge 0\] para todo \(x\in\mathbb{R}. Além disso, |x-4| é simétrica em torno da vertical x=4: valores de x igualmente distantes de 4 produzem o mesmo valor de |x-4|.]

Passo 4

Escrevendo K\) de forma peça a peça (útil para compreender o gráfico): \[K(x)=\sqrt{|x-4|}-3 = \begin{cases} \sqrt{x-4}-3, & x\ge 4,\\[4pt] \sqrt{4-x}-3, & x<4. \end{cases}
Explicação: para x\ge 4\] temos \(|x-4|=x-4, então K(x)=\sqrt{x-4}-3; para x<4 temos |x-4|=4-x, então K(x)=\sqrt{4-x}-3.]

Passo 5

Dominio: a raiz quadrada exige argumento não negativo. Como |x-4|\ge 0 para todo x, não há restrição adicional: o domínio é todo o eixo real.
Logo:
\text{Domínio}=\left(-\infty,\infty\right).í
Justificativa em linguagem simples: o valor absoluto garante que a quantidade dentro da raiz nunca seja negativa, então qualquer x serve.

Passo 6

Construção do gráfico por transformações passo a passo (aulas práticas sobre transformações).
  1. Comece com f(t)=\sqrt{t} (domínio [0,\infty), imagem [0,\infty)).
  2. Substituir o argumento t por x-4 g(x)=\sqrt{x-4}. Interpretação: isto é uma translação horizontal de f para a direita em 4 unidades. O ponto que era (0,0) em f vira (4,0) em g. O gráfico de g existe apenas para x\ge 4.
  3. Aplicar valor absoluto ao argumento: \sqrt{|x-4|}. Interpretar \sqrt{|x-4|} como pegar o ramo direito \sqrt{x-4} para x\ge 4 e “espelhar” esse mesmo formato para x<4. Em outras palavras: a presença de |\,\cdot\,| cria um ramo à esquerda que é simétrico ao ramo da direita em relação à reta x=4. Assim obtemos dois ramos idênticos saindo do ponto (4,0), um para a direita e outro para a esquerda.
  4. Finalmente, a subtração de 3: K(x)=\sqrt{|x-4|}-3. Isto é uma translação vertical para baixo em 3 unidades. Cada valor do gráfico de \sqrt{|x-4|} é reduzido em 3. O ponto que estava em (4,0) passa para (4,-3), tornando-se o ponto mais baixo do gráfico.
Resumo das transformações na ordem aplicada (da função elementar para K):
  • Começar com f(t)=\sqrt{t}.
  • Transladar para a direita em 4 unidades: \sqrt{x-4}.
  • Aplicar valor absoluto no argumento (cria simetria em torno de x=4): \sqrt{|x-4|}.
  • Transladar para baixo em 3 unidades: \sqrt{|x-4|}-3.

Passo 7

Pontos importantes e comportamento do gráfico (para esboçar à mão sem calculadora):
  • No ponto central x=4:
K(4)=\sqrt{|4-4|}-3=\sqrt{0}-3=-3.
Então o vértice (mínimo) do gráfico é (4,-3).
  • Valores simétricos: para h>0,
K(4+h)=\sqrt{h}-3,\qquad K(4-h)=\sqrt{h}-3.
Isto mostra a simetria em torno de x=4: valores equidistantes de 4 têm a mesma altura.
  • Alguns pontos fáceis para traçar:
\begin{aligned} x&=4 &\Rightarrow&\\ K(4)=-3,\\\ x&=5 &\Rightarrow&\\ K(5)=\sqrt{1}-3=-2,\\\ x&=3 &\Rightarrow&\\ K(3)=\sqrt{1}-3=-2,\\\ x&=8 &\Rightarrow&\\ K(8)=\sqrt{4}-3=2-3=-1,\\\ x&=0 &\Rightarrow&\\ K(0)=\sqrt{4}-3=-1. \end{aligned}
  • Comportamento extremo: quando |x-4|\to\infty (isto é, x\to\pm\infty), temos \sqrt{|x-4|}\to\infty, logo K(x)\to\infty. Assim o gráfico sobe indefinidamente para ambos os lados.
  • Concavidade e suavidade: cada ramo (direito e esquerdo) tem a forma de raiz quadrada—cresce, com inclinação que diminui conforme nos afastamos de x=4. No ponto x=4 a derivada não existe (há um “canto” suave tipo V arredondado): isso é esperado porque a função foi formada pela junção simétrica de dois ramos.
Como esboçar:
  • Marque o ponto (4,-3).
  • Marque os pontos (3,-2), (5,-2), (0,-1), (8,-1).
  • Desenhe dois ramos suaves, um saindo para a direita aumentando conforme raiz, outro idêntico saindo para a esquerda, ambos subindo sem limite.

Passo 8

Imagem (conjunto de valores possíveis de K(x)):
Como \sqrt{|x-4|}\ge 0 para todo x, ao subtrair 3 obtemos valores \ge -3. O menor valor ocorre em x=4 e é -3. Não há teto superior (vai a +\infty). Logo:
\text{Imagem}=\left[-3,\infty\right).

Resposta

Função elementar: f(t)=\sqrt{t}.
Transformações: translação horizontal para a direita em 4 unidades (obtém-se \sqrt{x-4}); aplicação do valor absoluto no argumento (gera simetria em torno de x=4, dando \sqrt{|x-4|}); translação vertical para baixo em 3 unidades (subtrai 3, obtendo K(x)).
Domínio: \left(-\infty,\infty\right).
Imagem: \left[-3,\infty\right).

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