Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
. O que pede:
- Esboçar o gráfico de
. - Identificar uma função “elementar” a partir da qual obtemos
por transformações (translações, reflexões, modulações). - Descrever as transformações ocorridas (em ordem).
- Determinar o domínio e a imagem (conjunto de valores possíveis de
e de ).
Informações fornecidas: a expressão
(peguei isso do enunciado). Nenhuma figura adicional foi dada.
Passo 2
Vamos começar apresentando a função elementar que vamos usar como base e relembrando suas propriedades básicas.
Escolha da função elementar: usemos a função
com variável independente
. Esta é a raiz quadrada padrão.
O que é importante saber sobre
:
- Domínio de
: , porque dentro da raiz precisamos de . - Imagem de
: , porque a raiz quadrada produz valores não negativos. - Formato do gráfico: começa em
e cresce para a direita de forma cada vez mais lenta (é crescente e côncava para baixo). Isso é o “ramo direito” clássico que usamos como peça básica.
Vou usar
como a peça que será transformada para obter
.
Passo 3
Entendendo a parte interna [|x-4|).
A função valor absoluto tem a propriedade de tornar o argumento não negativo:
Isso significa que
. Além disso,
é simétrica em torno da vertical
: valores de
igualmente distantes de
produzem o mesmo valor de
.]
Passo 4
Escrevendo
Explicação: para
, então
; para
temos
, então
.]
Passo 5
Dominio: a raiz quadrada exige argumento não negativo. Como
para todo
, não há restrição adicional: o domínio é todo o eixo real.
Logo:
Logo:
Justificativa em linguagem simples: o valor absoluto garante que a quantidade dentro da raiz nunca seja negativa, então qualquer
serve.
Passo 6
Construção do gráfico por transformações passo a passo (aulas práticas sobre transformações).
-
Comece com
(domínio , imagem ). -
Substituir o argumento
por dá . Interpretação: isto é uma translação horizontal de para a direita em unidades. O ponto que era em vira em . O gráfico de existe apenas para . -
Aplicar valor absoluto ao argumento:
. Interpretar como pegar o ramo direito para e “espelhar” esse mesmo formato para . Em outras palavras: a presença de cria um ramo à esquerda que é simétrico ao ramo da direita em relação à reta . Assim obtemos dois ramos idênticos saindo do ponto , um para a direita e outro para a esquerda. -
Finalmente, a subtração de
: . Isto é uma translação vertical para baixo em unidades. Cada valor do gráfico de é reduzido em . O ponto que estava em passa para , tornando-se o ponto mais baixo do gráfico.
Resumo das transformações na ordem aplicada (da função elementar para
):
- Começar com
. - Transladar para a direita em
unidades: . - Aplicar valor absoluto no argumento (cria simetria em torno de
): . - Transladar para baixo em
unidades: .
Passo 7
Pontos importantes e comportamento do gráfico (para esboçar à mão sem calculadora):
- No ponto central
:
Então o vértice (mínimo) do gráfico é
.
- Valores simétricos: para
,
Isto mostra a simetria em torno de
: valores equidistantes de
têm a mesma altura.
- Alguns pontos fáceis para traçar:
-
Comportamento extremo: quando
(isto é, ), temos , logo . Assim o gráfico sobe indefinidamente para ambos os lados. -
Concavidade e suavidade: cada ramo (direito e esquerdo) tem a forma de raiz quadrada—cresce, com inclinação que diminui conforme nos afastamos de
. No ponto a derivada não existe (há um “canto” suave tipo V arredondado): isso é esperado porque a função foi formada pela junção simétrica de dois ramos.
Como esboçar:
- Marque o ponto
. - Marque os pontos
, , , . - Desenhe dois ramos suaves, um saindo para a direita aumentando conforme raiz, outro idêntico saindo para a esquerda, ambos subindo sem limite.
Passo 8
Imagem (conjunto de valores possíveis de
):
Como
para todo
, ao subtrair
obtemos valores
. O menor valor ocorre em
e é
. Não há teto superior (vai a
). Logo:
Resposta
Função elementar:
.
Transformações: translação horizontal para a direita em unidades (obtém-se
); aplicação do valor absoluto no argumento (gera simetria em torno de
, dando
); translação vertical para baixo em
unidades (subtrai
, obtendo
).
Domínio: .
Imagem: .
Transformações: translação horizontal para a direita em
Domínio:
Imagem: