Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
\quad F(x)=\sqrt{|x|-1}-2

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\sqrt{|x|-1}-2
As tarefas pedidas são:
  • Esboçar o gráfico de F.
  • Identificar uma função “elementar” a partir da qual F pode ser obtida por transformações (translações, reflexões, modulações).
  • Identificar as transformações ocorridas (em que ordem e que tipo).
  • Determinar o domínio de F.
  • Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de F.
Informações relevantes que já vemos no enunciado:
  • Há uma raiz quadrada, então o argumento da raiz deve ser não-negativo: |x|-1\ge0.
  • Aparece |x|, o que introduz simetria em relação ao eixo y.
  • Há uma subtração externa -2, que desloca verticalmente a função para baixo em 2 unidades.

Passo 2

Identificação da função elementar e ideia geral de construção.
Uma escolha natural de função elementar é
y=\sqrt{x},
porque a expressão principal é uma raiz quadrada. Vou construir F a partir de y=\sqrt{x} por composições no argumento e por translação vertical. Em palavras simples:
  • aplicar |\cdot| ao argumento (gera simetria em y-axis),
  • subtrair 1 do argumento (deslocamento “para a direita” do ponto inicial em cada ramo),
  • e por fim deslocar o gráfico para baixo em 2 unidades (subtrair 2 do valor).
Vou detalhar cada uma dessas etapas a seguir e mostrar que essa sequência gera exatamente F(x).

Passo 3

Construção passo a passo (transformações) a partir de y=\sqrt{x}.
  1. Começo com y_0(x)=\sqrt{x}. Domínio de y_0 é x\ge0. O gráfico é o ramo direito da parábola em forma de raiz: começa em (0,0) e cresce para a direita, sempre com derivada grande perto de 0.
  2. Fazer x\mapsto |x| antes de aplicar a raiz: isto dá
y_1(x)=\sqrt{|x|}.
Efeito geométrico: pega o ramo de \sqrt{x} (que existe para x\ge0) e reflete esse ramo em torno do eixo y, produzindo dois ramos simétricos (um para x\ge0 e outro para x\le0). Em termos práticos: y_1(x)=\sqrt{x} para x\ge0 e y_1(x)=\sqrt{-x} para x<0.
  1. Subtrair 1 do argumento da raiz (aplicar o operador “argumento menos 1”): isto dá
y_2(x)=\sqrt{|x|-1}.
Efeito geométrico: cada ramo que antes começava em |x|=0 agora começa quando |x|-1=0, ou seja, em |x|=1. Assim os dois ramos “saem” dos pontos x=1 e x=-1 (com valor zero da raiz nesses pontos). É útil notar que essa operação corresponde a um deslocamento horizontal “para fora” dos ramos: o ponto inicial que estava em x=0 foi deslocado para x=\pm1 (de maneira simétrica por causa do |x|).
  1. Por fim subtrair 2 do valor:
F(x)=y_3(x)=\sqrt{|x|-1}-2.
Efeito geométrico final: desloca todo o gráfico de y_2 verticalmente para baixo em 2 unidades.
Resumo das transformações (da função elementar y=\sqrt{x} para F):
  • aplicar reflexão/simetrização no eixo y pelo operador |x| (gera dois ramos simétricos);
  • deslocar horizontalmente cada ramo para que comece em |x|=1 (isto é, substituir |x| por |x|-1);
  • deslocar verticalmente para baixo em 2 unidades (subtrair 2).

Passo 4

Determinação do domínio de F.
Condição para a raiz ser real:
|x|-1 \ge 0.
Resolver essa desigualdade:
|x|\ge 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le -1\\ \text{ou}\\ x\ge 1.
Portanto o domínio é
\mathrm{Dom}(F)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).
Comentário intuitivo: para -1<x<1 o argumento da raiz fica negativo, logo não está definido (no conjunto dos reais).

Passo 5

Determinação da imagem (conjunto de valores possíveis de F).
Para todo x no domínio temos \sqrt{|x|-1}\ge 0. Então
F(x)=\sqrt{|x|-1}-2 \ge -2.
Além disso, existe x no domínio que atinge exatamente \sqrt{|x|-1}=0: quando |x|=1, isto é, em x=1 e x=-1. Nessas pontos
F(\pm 1)=0-2=-2.
Como |x|\to\infty quando |x|\to\infty, tem-se \sqrt{|x|-1}\to\infty e portanto F(x)\to\infty. Assim todos os valores maiores ou iguais a -2 são atingidos. Logo a imagem é
\mathrm{Im}(F)=[-2,\infty).

Passo 6

Pontos importantes, interceptos e comportamento local (úteis para esboçar o gráfico).
  • Valores iniciais: F(1)=F(-1)=-2. São os mínimos globais da função.
  • Interseções com o eixo x (zerar F):
\sqrt{|x|-1}-2=0\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{|x|-1}=2\quad\Longrightarrow\quad |x|-1=4\quad\Longrightarrow\quad |x|=5,
portanto as interceptações em x são x=5 e x=-5. Pontos: (5,0) e (-5,0).
  • Alguns pontos de referência:
    • x=2: F(2)=\sqrt{2-1}-2=1-2=-1.
    • x=5: F(5)=0 (conforme acima).
    • Simetricamente para negativos: F(-2)=-1, F(-5)=0.
  • Comportamento da inclinação perto do início dos ramos: se considerarmos o ramo direito x\ge1 com a forma F(x)=\sqrt{x-1}-2, a derivada é
F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}
para x>1. Quando x\to1^+ tem-se F'(x)\to+\infty: o gráfico apresenta uma tangente vertical (pendente muito alta) no ponto inicial (1,-2). Mesma coisa simetricamente em x=-1.
  • Concavidade: a segunda derivada para o ramo direito é
F''(x)=-\frac{1}{4(x-1)^{3/2}}<0 \quad\text{para }x>1,
logo cada ramo é côncavo para baixo.

Passo 7

Instruções para esboçar o gráfico (passo a passo prático).
  1. Marque no eixo x os pontos x=-1 e x=1. Nestes pontos o valor de F é -2. Coloque dois pontos (-1,-2) e (1,-2).
  2. Trace dois ramos simétricos em relação ao eixo y:
    • Para x\ge1 desenhe o ramo que começa em (1,-2) e sobe lentamente para a direita, passando por (2,-1) e atingindo (5,0), e depois crescendo sem limite (concavidade para baixo).
    • Para x\le-1 desenhe o ramo simétrico: começa em (-1,-2), sobe para a esquerda passando por (-2,-1) e atingindo (-5,0), etc.
  3. Lembre-se que nos pontos iniciais x=\pm1 a tangente é vertical (ramo “abre” rapidamente para valores maiores de y ao sair do ponto).
  4. Não há gráfico para -1<x<1 (intervalo vazio no domínio); deixe essa região sem traço.
  5. Destaque que a imagem é [-2,\infty) e que o mínimo ocorre em x=\pm1 com valor -2.
Esses passos permitem um esboço preciso: dois ramos de raiz quadrada, simétricos em relação ao eixo y, cada um começando em (\pm 1,-2), com crescimento para \infty enquanto |x|\to\infty.

Resposta

Função elementar: y=\sqrt{x}.\nTransformações: aplicar x\mapsto |x| (reflexão/duplicação para simetria em y), depois substituir |x| por |x|-1 (cada ramo começa em |x|=1), e por fim transladar verticalmente para baixo em 2 unidades (subtrair 2).\nDomínio: (-\infty,-1]\cup[1,\infty).\nImagem: [-2,\infty).

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