Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá a função
As tarefas pedidas são:
- Esboçar o gráfico de
. - Identificar uma função “elementar” a partir da qual
pode ser obtida por transformações (translações, reflexões, modulações). - Identificar as transformações ocorridas (em que ordem e que tipo).
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Informações relevantes que já vemos no enunciado:
- Há uma raiz quadrada, então o argumento da raiz deve ser não-negativo:
. - Aparece
, o que introduz simetria em relação ao eixo . - Há uma subtração externa
, que desloca verticalmente a função para baixo em unidades.
Passo 2
Identificação da função elementar e ideia geral de construção.
Uma escolha natural de função elementar é
porque a expressão principal é uma raiz quadrada. Vou construir
a partir de
por composições no argumento e por translação vertical. Em palavras simples:
- aplicar
ao argumento (gera simetria em -axis), - subtrair
do argumento (deslocamento “para a direita” do ponto inicial em cada ramo), - e por fim deslocar o gráfico para baixo em
unidades (subtrair do valor).
Vou detalhar cada uma dessas etapas a seguir e mostrar que essa sequência gera exatamente
.
Passo 3
Construção passo a passo (transformações) a partir de
.
-
Começo com
. Domínio de é . O gráfico é o ramo direito da parábola em forma de raiz: começa em e cresce para a direita, sempre com derivada grande perto de . -
Fazer
antes de aplicar a raiz: isto dá
Efeito geométrico: pega o ramo de
(que existe para
) e reflete esse ramo em torno do eixo
, produzindo dois ramos simétricos (um para
e outro para
). Em termos práticos:
para
e
para
.
- Subtrair
do argumento da raiz (aplicar o operador “argumento menos 1”): isto dá
Efeito geométrico: cada ramo que antes começava em
agora começa quando
, ou seja, em
. Assim os dois ramos “saem” dos pontos
e
(com valor zero da raiz nesses pontos). É útil notar que essa operação corresponde a um deslocamento horizontal “para fora” dos ramos: o ponto inicial que estava em
foi deslocado para
(de maneira simétrica por causa do
).
- Por fim subtrair
do valor:
Efeito geométrico final: desloca todo o gráfico de
verticalmente para baixo em
unidades.
Resumo das transformações (da função elementar
para
):
- aplicar reflexão/simetrização no eixo
pelo operador (gera dois ramos simétricos); - deslocar horizontalmente cada ramo para que comece em
(isto é, substituir por ); - deslocar verticalmente para baixo em
unidades (subtrair ).
Passo 4
Determinação do domínio de
.
Condição para a raiz ser real:
Resolver essa desigualdade:
Portanto o domínio é
Comentário intuitivo: para
o argumento da raiz fica negativo, logo não está definido (no conjunto dos reais).
Passo 5
Determinação da imagem (conjunto de valores possíveis de
).
Para todo
no domínio temos
. Então
Além disso, existe
no domínio que atinge exatamente
: quando
, isto é, em
e
. Nessas pontos
Como
quando
, tem-se
e portanto
. Assim todos os valores maiores ou iguais a
são atingidos. Logo a imagem é
Passo 6
Pontos importantes, interceptos e comportamento local (úteis para esboçar o gráfico).
- Valores iniciais:
. São os mínimos globais da função. - Interseções com o eixo
(zerar ):
portanto as interceptações em
são
e
. Pontos:
e
.
- Alguns pontos de referência:
-
: . -
: (conforme acima). - Simetricamente para negativos:
, .
-
- Comportamento da inclinação perto do início dos ramos: se considerarmos o ramo direito
com a forma , a derivada é
para
. Quando
tem-se
: o gráfico apresenta uma tangente vertical (pendente muito alta) no ponto inicial
. Mesma coisa simetricamente em
.
- Concavidade: a segunda derivada para o ramo direito é
logo cada ramo é côncavo para baixo.
Passo 7
Instruções para esboçar o gráfico (passo a passo prático).
- Marque no eixo
os pontos e . Nestes pontos o valor de é . Coloque dois pontos e . - Trace dois ramos simétricos em relação ao eixo
: - Para
desenhe o ramo que começa em e sobe lentamente para a direita, passando por e atingindo , e depois crescendo sem limite (concavidade para baixo). - Para
desenhe o ramo simétrico: começa em , sobe para a esquerda passando por e atingindo , etc.
- Para
- Lembre-se que nos pontos iniciais
a tangente é vertical (ramo “abre” rapidamente para valores maiores de ao sair do ponto). - Não há gráfico para
(intervalo vazio no domínio); deixe essa região sem traço. - Destaque que a imagem é
e que o mínimo ocorre em com valor .
Esses passos permitem um esboço preciso: dois ramos de raiz quadrada, simétricos em relação ao eixo
, cada um começando em
, com crescimento para
enquanto
.
Resposta
Função elementar:
.\nTransformações: aplicar
(reflexão/duplicação para simetria em
), depois substituir
por
(cada ramo começa em
), e por fim transladar verticalmente para baixo em
unidades (subtrair
).\nDomínio:
.\nImagem:
.