Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
\quad G(x)=\left|(x+1)^{3}-1\right|

Passo 1

O enunciado dá a função
G(x)=\left|(x+1)^{3}-1\right|
e pede: esboçar o gráfico, identificar a função “elementar” de partida e todas as transformações (translações, reflexões, modulação), e determinar o domínio e a imagem.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão interna é (x+1)^{3}-1.
  • Depois aplica-se o valor absoluto (módulo).
    As perguntas que precisamos responder explicitamente:
  1. Qual é a função “elementar” que gera G por transformações?
  2. Quais são as transformações e em que ordem elas ocorrem?
  3. Qual é o domínio de G?
  4. Qual é a imagem (conjunto de valores) de G?
  5. Como esboçar o gráfico (pontos importantes, comportamento para x\to\pm\infty, monotonicidade, contínuo/diferenciável)?

Passo 2

Identificação da função elementar e da ordem das transformações (explicação didática).
Vou partir da função elementar mais óbvia e simples que aparece aqui: a função cúbica básica
f(x)=x^{3}.
O que acontece para obter G? Vamos ver a expressão interna passo a passo:
  1. Substituir x por x+1 leva a (x+1)^{3}. Em termos de gráfico, isso corresponde a uma translação horizontal para a esquerda de uma unidade (cada x é substituído por x+1 desloca o gráfico de f em 1 para a esquerda).
  2. Subtrair 1 fora do cubo, isto é, passar de (x+1)^{3} para (x+1)^{3}-1, é uma translação vertical para baixo de uma unidade.
  3. Aplicar o valor absoluto: transformar p(x):=(x+1)^{3}-1 em G(x)=|p(x)| significa manter as partes do gráfico onde p(x)\ge 0 e refletir em torno do eixo x (eixo das abscissas) as partes onde p(x)<0. Em palavras: valores negativos de p viram positivos espelhando-se sobre y=0.
Ordem completa das transformações a partir de f(x)=x^{3}:
  • Translação horizontal para a esquerda de 1 (obtem-se (x+1)^3).
  • Translação vertical para baixo de 1 (obtem-se (x+1)^3-1).
  • Aplicação do módulo/valor absoluto (reflexão das porções negativas em torno do eixo x).

Passo 3

Domínio (explicação didática).
A expressão interna (x+1)^{3}-1 é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}. A operação de valor absoluto não restringe o domínio (apenas altera sinais dos valores). Logo o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(G)=\mathbb{R}.

Passo 4

Análise do zero e da imagem (explicação didática passo a passo).
Primeiro encontramos onde a função interna p(x):=(x+1)^{3}-1 é zero, porque isso diz onde G(x) pode atingir 0:
p(x)=0 \iff (x+1)^{3}-1=0 \iff (x+1)^{3}=1 \iff x+1=1 \iff x=0.
Em x=0 temos G(0)=|0|=0. Como o valor absoluto produz apenas valores não negativos, a imagem de G está contida em [0,\infty). Também, à medida que x\to\infty ou x\to -\infty, |(x+1)^3-1|\to\infty. Portanto todos os valores não negativos são atingidos (a função cresce indefinidamente), e o mínimo 0 é atingido em x=0. Concluímos:
\text{Im}(G)=[0,\infty).

Passo 5

Expressão em forma peça-a-peça e consequências (muito útil na hora da prova).
Determinar onde p(x)\) é não negativo ou negativo: \[p(x)=(x+1)^{3}-1\ge 0 \iff (x+1)^{3}\ge 1 \iff x+1\ge 1 \iff x\ge 0.
Logo:
  • Para x\ge 0: G(x)=p(x)=(x+1)^{3}-1.
  • Para x<0: p(x)<0, então G(x)=-p(x)=1-(x+1)^{3}.
Portanto a forma piecewise é
G(x)=\begin{cases} 1-(x+1)^{3}, & x<0,\\[4pt] (x+1)^{3}-1, & x\ge 0. \end{cases}
Essa expressão é prática: diz exatamente que para x<0\] pegamos a parte negativa de \(p e a “viramos para cima”, e para x\ge0 mantemos a parte positiva de p.]

Passo 6

Pontos e comportamento para esboçar (faça isso na prova: calcule alguns pontos chave e veja monotonicidade).
Calcule valores simples:
\begin{aligned} G(-3)&=\left[(-3+1)^3-1\right] \text{ é negativo, então }G(-3)=1-(-2)^3=1-(-8)=9,\\\ G(-2)&=1-(-1)^3=1-(-1)=2,\\\ G(-1)&=1-(0)^3=1,\\\ G(0)&=(1)^3-1=0,\\\ G(1)&=(2)^3-1=8-1=7,\\\ G(2)&=(3)^3-1=27-1=26. \end{aligned}éã
Pontos úteis para plotar: (-3,9),(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,7),(2,26).
Comportamento de monotonicidade (use a derivada de p e o efeito do módulo):
  • Derivada de p: p'(x)=3(x+1)^{2}, que é sempre \ge 0 e é zero apenas em x=-1. Assim p é não decrescente (cresce exceto tangência horizontal em x=-1).
  • Em x\ge 0, G(x)=p(x) e portanto G'(x)=p'(x)=3(x+1)^{2}>0 para x>0. Assim G é estritamente crescente em (0,\infty).
  • Em x<0, G(x)=-p(x) e portanto G'(x)=-p'(x)=-3(x+1)^{2}\le 0. Assim G é não crescente em (-\infty,0) (na prática decresce para a direita, com derivada nula só em x=-1).
  • No ponto x=0 a função é contínua e G(0)=0, mas há não diferenciabilidade: os limites dos derivados são
G'_-(0)=-p'(0)=-3\quad\text{e}\quad G'_+(0)=p'(0)=3,
ou seja, tangentes com inclinações opostas; isso produz um “V suave” invertido (cusp) em x=0. Conclusão: o mínimo global 0 ocorre em x=0, com cusp (não diferenciável) nesse ponto.
Comportamento nas extremidades:
\lim_{x\to\infty}G(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to -\infty}G(x)=\infty.
Portanto o gráfico sobe para +\infty em ambas as extremidades (efeito típico do valor absoluto aplicado a um cúbico que vai a -\infty em -\infty).

Passo 7

Instruções práticas para esboçar (passo a passo para fazer no papel, sem calculadora):
  1. Desenhe o eixo x e y. Marque os pontos calculados (-3,9),(-2,2),(-1,1),(0,0),(1,7),(2,26).
  2. Para x\ge 0: desenhe a curva cúbica suave que passa por (0,0),(1,7),(2,26) e cresce com inclinação positiva; a tangente em 0 tem inclinação 3.
  3. Para x<0: em vez de desenhar a parte negativa de p, desenhe a reflexão dessa parte em torno do eixo x: a curva passa por (-1,1),(-2,2),(-3,9) e decresce à medida que x aumenta de -\infty a 0, com tangente horizontal em x=-1 (derivada zero) mas sem extremum típico aí.
  4. As duas partes se unem em (0,0) de forma contínua, mas com cantinho (não diferenciável).
  5. Verifique que as caudas vão para +\infty em ambas as extremidades.
Dica de desenho: o ramo direito ( x\ge0) tem a forma do cubo deslocado; o ramo esquerdo ( x<0) é a imagem do ramo negativo do cubo refletido para cima — por isso nas extremidades para x muito negativos o valor fica muito grande (pois o cubo muito negativo vira muito positivo pelo módulo).

Resposta

Função elementar: f(x)=x^{3}.\nTransformações (na ordem): translação horizontal para a esquerda de 1 (substituir x por x+1), translação vertical para baixo de 1 (subtrair 1), e por fim aplicação do valor absoluto (reflexão das partes negativas em torno do eixo x).\nDomínio: \mathbb{R}.\nImagem: [0,\infty).

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