Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá a função
O que é pedido:
- Esboçar o gráfico de
. - Identificar a função “elementar” de onde se obtém
por transformações. - Identificar as transformações (translações horizontais/verticais, reflexões, ampliações).
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (contrange) de
.
Informações e dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
- A fórmula explicita
em termos de . - Não há outras condições adicionais no enunciado.
Passo 2
Identificando a função elementar: a expressão tem a forma de uma função recíproca deslocada. A função recíproca elementar é
Propriedades básicas de
que vamos usar:
- Domínio de
: . - Imagem de
: . - Assimptotas: vertical em
e horizontal em . - Formato: duas ramos hiperbólicos: um no quadrante I (para
) e outro no quadrante III (para ); cada ramo é monótono (estritamente decrescente) no seu intervalo.
Exemplos numéricos simples para fixar a ideia:
,
,
. Esses exemplos mostram que para grandes
a função fica próxima de
, e perto de
a função tende a
.
Passo 3
Regras de transformação (lembrete prático):
- Substituir
por desloca o gráfico para a direita em . - Substituir
por desloca o gráfico para a esquerda em . - Somar uma constante
ao resultado (fora da função) desloca o gráfico para cima em . - Multiplicar por
reflete em torno do eixo . - Multiplicar por uma constante escala verticalmente.
Vou aplicar essas regras à função dada.
Passo 4
Reescrevendo
em termos de
:
Interpretação das duas operações:
-
significa que, em relação a , houve uma translação horizontal de 2 unidades para a esquerda (porque o argumento é ). - Em seguida soma-se
, que é uma translação vertical de 3 unidades para cima.
Resumo das transformações (na ordem prática de construção do gráfico):
- Começa-se com
. - Transladar o gráfico 2 unidades para a esquerda → obtém-se
. - Transladar o gráfico 3 unidades para cima → obtém-se
.
Não há reflexões nem mudanças de escala neste caso (coeficiente multiplicativo é
).
Passo 5
Consequências imediatas para assimptotas e pontos notáveis:
- A assimptota vertical de
que era desloca-se 2 unidades para a esquerda: assimptota vertical de é . - A assimptota horizontal de
que era sobe 3 unidades: assimptota horizontal de é .
Cálculo de alguns pontos úteis (para desenhar):
- Interseção com o eixo
(substituir ):
- Interseção com o eixo
(solucionar ):
Portanto o ponto
é o intercepto em
.
Limites perto da assimptota e no infinito:
Esses limites confirmam que o ramo à direita de
fica acima da reta
e tende para
vindo de cima, e o ramo à esquerda fica abaixo de
e tende para
vindo de baixo.
Passo 6
Sinal e monotonicidade (como usar isso para esboçar):
- Para
temos . Logo o ramo direito está totalmente acima de . - Para
temos . Logo o ramo esquerdo está totalmente abaixo de .
Monotonicidade em cada ramo (argumento sem derivada):
- Tome
com ambos . Então e ambas são positivas, logo . Somando aos dois lados: . Logo é estritamente decrescente em . - Um raciocínio análogo vale em
: também é estritamente decrescente nesse intervalo (cada ramo é decrescente ao aumentar dentro do ramo).
Esses fatos dizem que cada ramo é uma curva que decresce em seu intervalo e aproxima-se das assimptotas.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (guia prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Trace a linha vertical tracejada
(assimptota vertical). - Trace a linha horizontal tracejada
(assimptota horizontal). - Marque os pontos calculados:
e o intercepto . - No intervalo
: desenhe o ramo que passa por , fica todo acima de , decresce quando aumenta e tende para quando e tende para quando . - No intervalo
: desenhe o ramo que passa por , fica todo abaixo de , decresce quando aumenta (isto é, deslocando-se para a direita dentro do ramo) e tende para quando e tende para quando . - Verifique a suavidade: os ramos não se conectam porque
está excluído do domínio.
Com esses passos o esboço ficará correto: dois ramos hiperbólicos deslocados, uma acima e outro abaixo de
, com vertical em
.
Passo 8
Determinações finais (forma formal):
- Domínio: todos os
tais que o denominador não é zero. Então
- Imagem: como
nunca assume o valor , a soma com nunca atinge . Como a parte varia em todo , varia em todo . Assim
Resposta
Função elementar:
Transformações: translação horizontal 2 unidades para a esquerda (substituição ) e translação vertical 3 unidades para cima (adição de
); não há reflexões nem escalamentos.
Domínio:
Imagem:
Transformações: translação horizontal 2 unidades para a esquerda (substituição
Domínio:
Imagem: