Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma função “elementar” por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função “elementar” e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas.
H(x)=\frac{1}{x+2}+3

Passo 1

O enunciado dá a função
H(x)=\frac{1}{x+2}+3.
O que é pedido:
  • Esboçar o gráfico de H.
  • Identificar a função “elementar” de onde se obtém H por transformações.
  • Identificar as transformações (translações horizontais/verticais, reflexões, ampliações).
  • Determinar o domínio de H.
  • Determinar a imagem (contrange) de H.
Informações e dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
  • A fórmula explicita H em termos de x.
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Identificando a função elementar: a expressão tem a forma de uma função recíproca deslocada. A função recíproca elementar é
f(x)=\frac{1}{x}.
Propriedades básicas de f(x)=\dfrac{1}{x} que vamos usar:
  • Domínio de f: \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Imagem de f: \mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Assimptotas: vertical em x=0 e horizontal em y=0.
  • Formato: duas ramos hiperbólicos: um no quadrante I (para x>0) e outro no quadrante III (para x<0); cada ramo é monótono (estritamente decrescente) no seu intervalo.
Exemplos numéricos simples para fixar a ideia: f(1)=1, f(2)=\tfrac12, f(-1)=-1. Esses exemplos mostram que para grandes |x| a função fica próxima de 0, e perto de x=0 a função tende a \pm\infty.

Passo 3

Regras de transformação (lembrete prático):
  • Substituir x por x-h desloca o gráfico para a direita em h.
  • Substituir x por x+h desloca o gráfico para a esquerda em h.
  • Somar uma constante +k ao resultado (fora da função) desloca o gráfico para cima em k.
  • Multiplicar por -1 reflete em torno do eixo x.
  • Multiplicar por uma constante escala verticalmente.
Vou aplicar essas regras à função dada.

Passo 4

Reescrevendo H em termos de f:
H(x)=f(x+2)+3, \qquad\text{onde }f(t)=\frac{1}{t}.
Interpretação das duas operações:
  1. f(x+2) significa que, em relação a f(x)=1/x, houve uma translação horizontal de 2 unidades para a esquerda (porque o argumento é x+2).
  2. Em seguida soma-se +3, que é uma translação vertical de 3 unidades para cima.
Resumo das transformações (na ordem prática de construção do gráfico):
  • Começa-se com f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Transladar o gráfico 2 unidades para a esquerda → obtém-se g(x)=\dfrac{1}{x+2}.
  • Transladar o gráfico 3 unidades para cima → obtém-se H(x)=\dfrac{1}{x+2}+3.
Não há reflexões nem mudanças de escala neste caso (coeficiente multiplicativo é 1).

Passo 5

Consequências imediatas para assimptotas e pontos notáveis:
  • A assimptota vertical de f que era x=0 desloca-se 2 unidades para a esquerda: assimptota vertical de H é x=-2.
  • A assimptota horizontal de f que era y=0 sobe 3 unidades: assimptota horizontal de H é y=3.
Cálculo de alguns pontos úteis (para desenhar):
  • Interseção com o eixo y (substituir x=0):
H(0)=\frac{1}{0+2}+3=\frac{1}{2}+3=\frac{7}{2}=3{,}5.
  • Interseção com o eixo x (solucionar H(x)=0):
\frac{1}{x+2}+3=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x+2}=-3 \quad\Rightarrow\quad x+2=-\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad x=-2-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}\approx -2{,}333\ldots
Portanto o ponto \bigl(-\tfrac{7}{3},\,0\bigr) é o intercepto em x.
Limites perto da assimptota e no infinito:
\lim_{x\to -2^+} H(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to -2^-} H(x)=-\infty,
\lim_{x\to +\infty} H(x)=3^+,\qquad \lim_{x\to -\infty} H(x)=3^-.
Esses limites confirmam que o ramo à direita de x=-2 fica acima da reta y=3 e tende para 3 vindo de cima, e o ramo à esquerda fica abaixo de y=3 e tende para 3 vindo de baixo.

Passo 6

Sinal e monotonicidade (como usar isso para esboçar):
  • Para x>-2 temos x+2>0\Rightarrow \dfrac{1}{x+2}>0\Rightarrow H(x)>3. Logo o ramo direito está totalmente acima de y=3.
  • Para x<-2 temos x+2<0\Rightarrow \dfrac{1}{x+2}<0\Rightarrow H(x)<3. Logo o ramo esquerdo está totalmente abaixo de y=3.
Monotonicidade em cada ramo (argumento sem derivada):
  • Tome x_1<x_2 com ambos >-2. Então x_1+2<x_2+2 e ambas são positivas, logo \dfrac{1}{x_1+2}>\dfrac{1}{x_2+2}. Somando 3 aos dois lados: H(x_1)>H(x_2). Logo H é estritamente decrescente em (-2,\infty).
  • Um raciocínio análogo vale em (-\infty,-2): H também é estritamente decrescente nesse intervalo (cada ramo é decrescente ao aumentar x dentro do ramo).
Esses fatos dizem que cada ramo é uma curva que decresce em seu intervalo e aproxima-se das assimptotas.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (guia prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Trace a linha vertical tracejada x=-2 (assimptota vertical).
  3. Trace a linha horizontal tracejada y=3 (assimptota horizontal).
  4. Marque os pontos calculados: H(0)=\tfrac{7}{2} e o intercepto x=-\tfrac{7}{3}.
  5. No intervalo x>-2: desenhe o ramo que passa por (0,\tfrac{7}{2}), fica todo acima de y=3, decresce quando x aumenta e tende para +\infty quando x\to-2^+ e tende para 3 quando x\to+\infty.
  6. No intervalo x<-2: desenhe o ramo que passa por \bigl(-\tfrac{7}{3},0\bigr), fica todo abaixo de y=3, decresce quando x aumenta (isto é, deslocando-se para a direita dentro do ramo) e tende para -\infty quando x\to-2^- e tende para 3 quando x\to-\infty.
  7. Verifique a suavidade: os ramos não se conectam porque x=-2 está excluído do domínio.
Com esses passos o esboço ficará correto: dois ramos hiperbólicos deslocados, uma acima e outro abaixo de y=3, com vertical em x=-2.

Passo 8

Determinações finais (forma formal):
  • Domínio: todos os x tais que o denominador não é zero. Então
\text{Dom}(H)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}=\;(-\infty,-2)\cup(-2,\infty).
  • Imagem: como \dfrac{1}{x+2} nunca assume o valor 0, a soma com 3 nunca atinge 3. Como a parte \dfrac{1}{x+2} varia em todo \mathbb{R}\setminus\{0\}, H varia em todo \mathbb{R}\setminus\{3\}. Assim
\text{Im}(H)=\mathbb{R}\setminus\{3\} = (-\infty,3)\cup(3,\infty).

Resposta

Função elementar: f(x)=\dfrac{1}{x}
Transformações: translação horizontal 2 unidades para a esquerda (substituição x\mapsto x+2) e translação vertical 3 unidades para cima (adição de +3); não há reflexões nem escalamentos.
Domínio: (-\infty,-2)\cup(-2,\infty)
Imagem: (-\infty,3)\cup(3,\infty)

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