1. Trace as curvas y=x^3-4 x e x=y^3-4 y e encentre seus pontos de intersecçâo, com precisão de uma casa decimal.
  2. (a) Mostre que as equaçōes paramétricas
x=x1+(x2-x1) t y=y1+(y2-y1) t
onde 0 <= t <= 1 descrevem o segmento de reta que une os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2).

Passo 1

Enunciado do problema 30: queremos traçar as curvas
y = x^3 - 4x
e
x = y^3 - 4y
e encontrar todos os seus pontos de intersecção com precisão de uma casa decimal. O conteúdo usado será a simetria dessas duas equações (uma é a inversa da outra) e a solução de uma equação em x de ordem mais alta, reduzida via substituições e fatorações.

Passo 2

Para achar as intersecções, igualamos a segunda equação à primeira invertida. Defina
f(x) = x^3 - 4x
As intersecções satisfazem
y = f(x), x = f(y) = fl(f(x)r)
Logo buscamos as raízes da equação
fl(f(x)r) - x = 0

Passo 3

Calculemos
u = f(x) = x^3-4x,
então
f(f(x)) - x = u^3 - 4u - x = 0
Expandindo u^3-4u em termos de x e fatorando um x, obtemos
f(f(x)) - x = xl(t^4 - 12t^3 + 48t^2 - 68t +15r), t = x^2
A parte em parenteses é um polinômio de quarto grau em t, que ao fatorar dá
t^4-12t^3+48t^2-68t+15 = (t-5)(t-3)l(t^2-4t+1r)
As raízes em t são
t = 5, t = 3, t = 2pmraiz3
Além disso há a solução x=0 vinda do fator externo.

Passo 4

Cada t fornece x = pmraizt e então y = f(x). Aproximando com uma casa decimal:
  1. x=0
    (x,y)=(0.0,0.0).
  2. t=5, xapproxpm2,236,
    y=f(x)approx pm2,236.
    Pontos (2,2,2,2) e (-2,2,-2,2).
  3. t=3, xapproxpm1,732,
    y=f(x)approxmp1,732.
    Pontos (1,7,-1,7) e (-1,7,1,7).
  4. t=2+raiz3approx3,732, xapproxpm1,9315,
    yapproxmp0,529.
    Pontos (1,9,-0,5) e (-1,9,0,5).
  5. t=2-raiz3approx0,268, xapproxpm0,517,
    yapproxmp1,931.
    Pontos (0,5,-1,9) e (-0,5,1,9).

Passo 5

Enunciado do problema 31(a): mostrar que as equações paramétricas
x = x1 + (x2-x1),t, y = y1 + (y2-y1),t, 0 <= t <= 1
descrição o segmento de reta que une P1(x1,y1) a P2(x2,y2). O conteúdo é a interpretação geométrica do parâmetro t como progressão entre dois pontos no plano.

Passo 6

Note que em t=0 temos
(x,y) = (x1,y1),
e em t=1 temos
(x,y) = (x2,y2)
Para 0<t<1,
(x,y) = (1-t),(x1,y1) + t,(x2,y2),
que é exatamente a combinação convexa dos vetores posição de P1 e P2. Geometricamente, isso varre todos os pontos do segmento fechado que liga P1 a P2.

Resposta

  1. Os nove pontos de intersecção, com uma casa decimal, são:
    (0,0,0,0),
    (2,2,2,2), (-2,2,-2,2),
    (1,7,-1,7), (-1,7,1,7),
    (1,9,-0,5), (-1,9,0,5),
    (0,5,-1,9), (-0,5,1,9).
31(a). As equações
x = x1 + (x2-x1),t, y = y1 + (y2-y1),t, 0 <= t <= 1
produzem em t=0 o ponto P1, em t=1 o ponto P2 e, para 0<t<1, todos os pontos da combinação convexa (1-t)P1+tP2, isto é, o segmento de reta que une P1 a P2.

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