- Trace as curvas
e encentre seus pontos de intersecçâo, com precisão de uma casa decimal.
- (a) Mostre que as equaçōes paramétricas
onde
descrevem o segmento de reta que une os pontos
e
.
Passo 1
Enunciado do problema 30: queremos traçar as curvas
e
e encontrar todos os seus pontos de intersecção com precisão de uma casa decimal. O conteúdo usado será a simetria dessas duas equações (uma é a inversa da outra) e a solução de uma equação em
de ordem mais alta, reduzida via substituições e fatorações.
Passo 2
Para achar as intersecções, igualamos a segunda equação à primeira invertida. Defina
As intersecções satisfazem
Logo buscamos as raízes da equação
Passo 3
Calculemos
então
Expandindo
em termos de
e fatorando um
, obtemos
A parte em parenteses é um polinômio de quarto grau em
, que ao fatorar dá
As raízes em
são
Além disso há a solução
vinda do fator externo.
Passo 4
Cada
fornece
e então
. Aproximando com uma casa decimal:
-
. -
, ,
.
Pontose . -
, ,
.
Pontose . -
, ,
.
Pontose . -
, ,
.
Pontose .
Passo 5
Enunciado do problema 31(a): mostrar que as equações paramétricas
descrição o segmento de reta que une
a
. O conteúdo é a interpretação geométrica do parâmetro
como progressão entre dois pontos no plano.
Passo 6
Note que em
temos
e em
temos
Para
,
que é exatamente a combinação convexa dos vetores posição de
e
. Geometricamente, isso varre todos os pontos do segmento fechado que liga
a
.
Resposta
- Os nove pontos de intersecção, com uma casa decimal, são:
,
, ,
, ,
, ,
, .
31(a). As equações
produzem em
o ponto
, em
o ponto
e, para
, todos os pontos da combinação convexa
, isto é, o segmento de reta que une
a
.