Esboce os gráficos da região mathcal{Q} limitado pelos gráficos das equações dadas e exprima a integral \iiint_{\mathcal{Q}} f(x, y, z) d v como integral iterada de seis formas diferentes
y=2-z^{2}, y=z^{2}, x+z=4, x=0

Passo 1

O enunciado pede a região \mathcal{Q} limitada pelas superfícies
y = z^2,\quad y = 2 - z^2,\quad x = 0,\quad x + z = 4
e a expressão da integral
\iiint_{\mathcal{Q}} f(x,y,z)\,dv
como seis integrais iteradas em todas as ordens possíveis de x,y,z. Vamos primeiro entender geometricamente o domínio e determinar os intervalos de cada variável.

Passo 2

Projete \mathcal{Q} no plano yz. A interseção de
y = z^2 \quad\text{e}\quad y = 2 - z^2
z^2 = 2 - z^2 \;\Rightarrow\; z^2 = 1 \;\Rightarrow\; z = \pm1, \quad y=1.
Para -1\le z\le1, fica
z^2\le y\le 2 - z^2.
Para cada par (y,z) nesta projeção, a condição 0\le x\le 4 - z vem da interseção com o plano x+z=4.
Assim, podemos dizer:
– na projeção D\subset yz vale
-1 \le z \le 1,\quad z^2 \le y \le 2 - z^2;
– para cada (y,z)\in D,
0 \le x \le 4 - z.

Passo 3

Ordem dx\,dy\,dz:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv =\int_{z=-1}^{1} \int_{y=z^2}^{\,2-z^2} \int_{x=0}^{\,4-z} f(x,y,z)\,dx \,dy \,dz.

Passo 4

Ordem dy\,dz\,dx: o x varia de 0 a 5 (porque 4 - z\le5 dado -1\le z\le1), e para cada x vale z\le4-x e -1\le z\le1. Logo
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv =\int_{x=0}^{5} \int_{z=-1}^{\,\min\{1,\,4-x\}} \int_{y=z^2}^{\,2-z^2} f(x,y,z)\,dy \,dz \,dx.

Passo 5

Ordem dz\,dx\,dy: primeiro y\in[0,2]. Para cada y, z deve satisfazer simultaneamente
z^2\le y \quad\text{e}\quad z^2\le2 - y \;\Longrightarrow\; |z|\le\min\{\sqrt{y},\sqrt{2-y}\},
e então x\in[0,4-z]. Assim
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv =\int_{y=0}^{2} \int_{z=-\min\{\sqrt{y},\sqrt{2-y}\}}^{\;\min\{\sqrt{y},\sqrt{2-y}\}} \int_{x=0}^{\,4-z} f(x,y,z)\,dx \,dz \,dy.

Passo 6

Ordem dx\,dz\,dy: também se usa a projeção em yz, mas separando em dois pedaços para y\in[0,1] e y\in[1,2]:
\begin{aligned} \iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv &=\int_{y=0}^{1} \int_{z=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \int_{x=0}^{\,4-z} f(x,y,z)\,dx \,dz \,dy \\\ &\quad+\int_{y=1}^{2} \int_{z=-\sqrt{2-y}}^{\sqrt{2-y}} \int_{x=0}^{\,4-z} f(x,y,z)\,dx \,dz \,dy. \end{aligned}

Passo 7

Ordem dy\,dx\,dz: semelhante ao passo 3 mas trocando a ordem das integrais internas:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv =\int_{z=-1}^{1} \int_{x=0}^{\,4-z} \int_{y=z^2}^{\,2-z^2} f(x,y,z)\,dy \,dx \,dz.

Passo 8

Ordem dz\,dy\,dx: primeiro x\in[0,5], depois para cada x tem-se -1\le z\le\min\{1,4-x\} e, finalmente, y\in[z^2,\,2-z^2]:
\iiint_{\mathcal{Q}}f\,dv =\int_{x=0}^{5} \int_{y=\;??}^{\;??} \int_{z=\;-1}^{\;\min\{1,4-x\}} f(x,y,z)\,dz \,dy \,dx,
onde os limites internos podem ser escritos lembrando que para cada z varia y\in[z^2,2-z^2].

Resposta

As seis formas iteradas válidas são aquelas escritas nos Passos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 acima, correspondendo a todas as permutações possíveis de dx,dy,dz.

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