Esboce os gráficos da região
limitado pelos gráficos das equações dadas e exprima a integral
como integral iterada de seis formas diferentes
Passo 1
O enunciado pede a região
limitada pelas superfícies
e a expressão da integral
como seis integrais iteradas em todas as ordens possíveis de
. Vamos primeiro entender geometricamente o domínio e determinar os intervalos de cada variável.
Passo 2
Projete
no plano
. A interseção de
dá
Para
, fica
Para cada par
nesta projeção, a condição
vem da interseção com o plano
.
Assim, podemos dizer:
– na projeção vale
– na projeção
– para cada
,
Passo 3
Ordem
:
Passo 4
Ordem
: o
varia de
a
(porque
dado
), e para cada
vale
e
. Logo
Passo 5
Ordem
: primeiro
. Para cada
,
deve satisfazer simultaneamente
e então
. Assim
Passo 6
Ordem
: também se usa a projeção em
, mas separando em dois pedaços para
e
:
Passo 7
Ordem
: semelhante ao passo 3 mas trocando a ordem das integrais internas:
Passo 8
Ordem
: primeiro
, depois para cada
tem-se
e, finalmente,
:
onde os limites internos podem ser escritos lembrando que para cada
varia
.
Resposta
As seis formas iteradas válidas são aquelas escritas nos Passos 3, 4, 5, 6, 7 e 8 acima, correspondendo a todas as permutações possíveis de
.