Esboce os gráficos da região mathcal{Q} limitado pelos gráficos das equações dadas e exprima a integral \iiint_{\mathcal{Q}} f(x, y, z) d v como integral iterada de seis formas diferentes
y^{2}+z^{2}=1, x+y+z=2, x=0

Passo 1

O enunciado pede a região \mathcal{Q}=\{(x,y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le1,\;x\ge0,\;x+y+z\le2\}
e quer a integral \displaystyle \iiint_{\mathcal{Q}}f(x,y,z)\,dv
escrita nas seis ordens possíveis de integração em x,y,z.

Passo 2

Para descrever \mathcal{Q} em iteradas, usamos sempre as duas condições:
  1. Projeção no plano yz: y^{2}+z^{2}\le1.
  2. Faixa em x: 0\le x\le2 - y - z.
Dessa forma, sempre que x for a variável interna, o limite é
0 \le x \le 2 - y - z,
e as duas variáveis exteriores satisfazem y^{2}+z^{2}\le1.

Passo 3

(i) Ordem dx\,dy\,dz:
\int_{z=-1}^{1} \int_{y=-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}} \int_{x=0}^{2 - y - z} f(x,y,z)\,dx \,dy \,dz.

Passo 4

(ii) Ordem dx\,dz\,dy:
\int_{y=-1}^{1} \int_{z=-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \int_{x=0}^{2 - y - z} f(x,y,z)\,dx \,dz \,dy.

Passo 5

Quando y é a interna, para cada x,z vale
-\sqrt{1-z^2}\;\le\;y\;\le\;\min\!\bigl(\sqrt{1-z^2},\,2 - x - z\bigr),
e para que haja algum y valido, x varia de
0\;\le\;x\;\le\;2 - z + \sqrt{1 - z^2}.
(iii) Ordem dy\,dx\,dz:
\int_{z=-1}^{1} \int_{x=0}^{\,2 - z + \sqrt{1 - z^2}} \int_{y=-\sqrt{1-z^2}}^{\min(\sqrt{1-z^2},\,2 - x - z)} f(x,y,z)\,dy \,dx \,dz.

Passo 6

(iv) Ordem dy\,dz\,dx:
para cada x fixo, z deve satisfazer z^{2}\le1 e 2 - x - z\ge -\sqrt{1-z^2}, o que impõe
-1 \;\le\;z\;\le\;1, \quad 0\;\le\;x\;\le\;3
(efetivamente x\le2+1=3). Então
\int_{x=0}^{3} \int_{z=-1}^{1} \int_{y=-\sqrt{1-z^2}}^{\min(\sqrt{1-z^2},\,2 - x - z)} f(x,y,z)\,dy \,dz \,dx.

Passo 7

Quando z é a interna, para cada x,y vale
-\sqrt{1-y^2}\;\le\;z\;\le\;\min\!\bigl(\sqrt{1-y^2},\,2 - x - y\bigr),
e x,y devem satisfazer y^{2}\le1 e existir z, o que dá
-1\le y\le1, \quad 0\le x\le2 - y + \sqrt{1 - y^2}.
(v) Ordem dz\,dx\,dy:
\int_{y=-1}^{1} \int_{x=0}^{\,2 - y + \sqrt{1 - y^2}} \int_{z=-\sqrt{1-y^2}}^{\min(\sqrt{1-y^2},\,2 - x - y)} f(x,y,z)\,dz \,dx \,dy.

Passo 8

(vi) Ordem dz\,dy\,dx:
para cada x fixo, y varia em -1\le y\le1 e existe z se 2 - x - y\ge -\sqrt{1-y^2}, levando a
0\le x\le3, \quad -1\le y\le1.
Então
\int_{x=0}^{3} \int_{y=-1}^{1} \int_{z=-\sqrt{1-y^2}}^{\min(\sqrt{1-y^2},\,2 - x - y)} f(x,y,z)\,dz \,dy \,dx.

Resposta

As seis expressões iteradas de \displaystyle \iiint_{\mathcal{Q}}f(x,y,z)\,dv são:
(a) \displaystyle\int_{z=-1}^{1}\!\int_{y=-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}}\!\int_{x=0}^{2-y-z}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.
(b) \displaystyle\int_{y=-1}^{1}\!\int_{z=-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\!\int_{x=0}^{2-y-z}f(x,y,z)\,dx\,dz\,dy.
(c) \displaystyle\int_{z=-1}^{1}\!\int_{x=0}^{2 - z + \sqrt{1 - z^2}}\!\int_{y=-\sqrt{1-z^2}}^{\min(\sqrt{1-z^2},\,2 - x - z)}f(x,y,z)\,dy\,dx\,dz.
(d) \displaystyle\int_{x=0}^{3}\!\int_{z=-1}^{1}\!\int_{y=-\sqrt{1-z^2}}^{\min(\sqrt{1-z^2},\,2 - x - z)}f(x,y,z)\,dy\,dz\,dx.
(e) \displaystyle\int_{y=-1}^{1}\!\int_{x=0}^{2 - y + \sqrt{1 - y^2}}\!\int_{z=-\sqrt{1-y^2}}^{\min(\sqrt{1-y^2},\,2 - x - y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy.
(f) \displaystyle\int_{x=0}^{3}\!\int_{y=-1}^{1}\!\int_{z=-\sqrt{1-y^2}}^{\min(\sqrt{1-y^2},\,2 - x - y)}f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx.

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