Esboce os gráficos da região
limitado pelos gráficos das equações dadas e exprima a integral
como integral iterada de seis formas diferentes
Passo 1
O enunciado pede a região
e quer a integral
escrita nas seis ordens possíveis de integração em .
e quer a integral
escrita nas seis ordens possíveis de integração em
Passo 2
Para descrever
em iteradas, usamos sempre as duas condições:
- Projeção no plano
: . - Faixa em
: .
Dessa forma, sempre que
for a variável interna, o limite é
e as duas variáveis exteriores satisfazem
.
Passo 3
(i) Ordem
:
Passo 4
(ii) Ordem
:
Passo 5
Quando
é a interna, para cada
vale
e para que haja algum
valido,
varia de
(iii) Ordem
:
Passo 6
(iv) Ordem
:
para cada fixo,
deve satisfazer
e
, o que impõe
para cada
(efetivamente
). Então
Passo 7
Quando
é a interna, para cada
vale
e
devem satisfazer
e existir
, o que dá
(v) Ordem
:
Passo 8
(vi) Ordem
:
para cada fixo,
varia em
e existe
se
, levando a
para cada
Então
Resposta
As seis expressões iteradas de
são:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)