Esboce a região \mathcal{R} limitada pelos gráficos das equações das equações dadas. Se f é contínua em \mathcal{R}, e se for necessário, exprimir \iint_{\mathcal{R}} f(x, y) como soma de duas integrais do tipo utilizada:
no Teorema de Fubine (parte 2-d x d y );
y=\sqrt{x}, y=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região \mathcal{R} limitada pelas curvas
y = \sqrt{x} \quad\text{e}\quad y = x^3,
e, supondo f contínua em \mathcal{R}, escrever
\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\,dA
como iteradas do tipo do Teorema de Fubini, isto é, em \(dy\,dx\)'' e, se for preciso, como soma de duas integrais em dx\,dy‘’.

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
x^3 = \sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x^3 - x^{1/2}=0 \;\Longrightarrow\; x^{1/2}\bigl(x^{5/2}-1\bigr)=0,
logo x=0 ou x=1. Em x\in[0,1] verifica-se \sqrt{x}\ge x^3. Assim \mathcal{R} é o conjunto
\{(x,y):0\le x\le1,\;x^3\le y\le\sqrt{x}\}.

Passo 3

No plano xy, as curvas partem de (0,0) até (1,1). A reta y=x^3 cresce mais devagar que y=\sqrt{x} em [0,1], formando um “fundo” e um “teto”, respectivamente. O esboço é:
\begin{array}{l} \text{– eixo \(x\) de 0 a 1, eixo \(y\) de 0 a 1;}\\ \text{– curva inferior }y=x^3;\\ \text{– curva superior }y=\sqrt{x}. \end{array}

Passo 4

Como \mathcal{R} é x-simples, a integral em ordem dy\,dx fica diretamente
\iint_{\mathcal{R}}f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=x^3}^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 5

Para escrever em ordem dx\,dy, notamos que as mesmas curvas dão
x = y^2 \quad\text{e}\quad x = y^{1/3},
e, para y\in[0,1], vale y^2\le y^{1/3}. Assim \mathcal{R} é também y-simples e
\iint_{\mathcal{R}}f(x,y)\,dA = \int_{y=0}^{1}\Bigl(\int_{x=y^2}^{y^{1/3}}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.

Resposta

\boxed{ \iint_{\mathcal{R}}f(x,y)\,dA = \int_{0}^{1}\Bigl(\int_{x^3}^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx = \int_{0}^{1}\Bigl(\int_{y^2}^{y^{1/3}}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy. }

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