Esboce a região \mathcal{R} limitada pelos gráficos das equações das equações dadas. Se f é contínua em \mathcal{R}, e se for necessário, exprimir \iint_{\mathcal{R}} f(x, y) como soma de duas integrais do tipo utilizada:
no Teorema de Fubine (parte 1 - d y d x );
y=\sqrt{x}, x=4, y=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região \mathcal{R} limitada pelas curvas
y = \sqrt{x},\quad x = 4,\quad y = 0,
e, se f for contínua em \mathcal{R}, expressar
\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\,dA
como integral iterada no formato dy\,dx.

Passo 2

Determine as interseções das fronteiras para localizar os vértices de \mathcal{R}:
  1. Entre y=\sqrt{x} e y=0 ocorre em x=0, gerando o ponto (0,0).
  2. Entre y=\sqrt{x} e x=4 tem y=\sqrt{4}=2, gerando o ponto (4,2).
  3. As outras interseções são x=4 com y=0, ponto (4,0).

Passo 3

A região \mathcal{R} é simples no sentido vertical (tipo I):
para cada x entre 0 e 4, o y varia de 0 até \sqrt{x}.

Passo 4

Como não há mudança de comportamento da curva dentro de 0\le x\le4, basta uma única integral iterada:
\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{4}\Bigl(\int_{y=0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx.

Resposta

\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\,dA = \int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\,dx.

Exercícios relacionados