Esboce os gráficos das seguintes funções afins, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
f(x)=-x+4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f(x)=-x+4:
  • Esboçar o gráfico da função (ou seja, indicar como traçar a reta correspondente).
  • Determinar o domínio e a imagem (range) da função.
Informação dada:
  • A própria expressão da função: f(x)=-x+4.

Passo 2

O que é uma função afim e como interpretá-la (rápida aula):
  • Uma função afim tem a forma geral f(x)=ax+b.
    • a é o coeficiente angular (a inclinação, ou “declive”) da reta.
    • b é o coeficiente linear (o termo independente), que é o valor de f quando x=0 — isto é, a ordenada onde a reta corta o eixo y.
  • A inclinação a indica como a função varia quando x aumenta:
    • Se a>0, a reta sobe (função crescente).
    • Se a<0, a reta desce (função decrescente).
    • Se a=0, a função é constante (reta horizontal).
  • Para esboçar a reta basta dois pontos distintos; com dois pontos já se traça a reta inteira.

Passo 3

Identificar os parâmetros da nossa função:
  • Compare f(x)=-x+4 com f(x)=ax+b.
  • Aqui a=-1 e b=4.
    • Explicando: a=-1 significa que a cada aumento de +1 em x, f(x) diminui 1.
    • b=4 significa que a reta corta o eixo y no ponto (0,4).

Passo 4

Encontrar pontos-chave para desenhar a reta (contas passo a passo, sem pular):
  • Ponto quando x=0 (ordenada na origem): f(0) = -0 + 4 = 4,então o ponto (0,4) é o corte com o eixo y.
  • Corte com o eixo x: resolver f(x)=0: 0 = -x + 4 \quad\Rightarrow\quad -x = -4 \quad\Rightarrow\quad x = 4,então o ponto (4,0) é o corte com o eixo x.
  • Mais um ponto para segurança, por exemplo x=1: f(1) = -1 + 4 = 3,ponto (1,3). E para x=-1: f(-1) = -(-1) + 4 = 1 + 4 = 5,ponto (-1,5).

Passo 5

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal é x, vertical é y.
  2. Marque e plot os pontos que encontramos: (0,4), (4,0) e, se quiser, (1,3) ou (-1,5).
  3. Trace uma reta passando por esses pontos (reta infinita nas duas direções). Como a=-1, a reta desce com inclinação 45^\circ relativa ao aumento unitário (em escala igual nos eixos): ao andar 1 para a direita, sobe/ desce 1 para baixo — neste caso desce 1.
  4. Verifique o comportamento nas extremidades: \text{quando } x\to+\infty,\\ f(x)=-x+4\to -\infty; \qquad \text{quando } x\to-\infty,\\ f(x)\to +\infty.
Esses passos são suficientes para um esboço correto e rápido.

Passo 6

Determinar o domínio (explicando o raciocínio):
  • O domínio é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão faz sentido.
  • A expressão f(x)=-x+4 é uma expressão polinomial de grau 1 (não há divisão por x, não há raiz de índice par, nem logaritmo etc.), então não há restrição.
  • Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais: \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 7

Determinar a imagem (range) e justificar detalhadamente:
  • A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia no domínio.
  • Como vimos no Passo 5, quando x\to+\infty a função tende a -\infty e quando x\to-\infty tende a +\infty. Isso indica que a reta atinge valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos.
  • Outra forma mais algébrica e convincente: dado qualquer y\in\mathbb{R}, resolver y=f(x)=-x+4 para x: y = -x + 4 \quad\Rightarrow\quad -x = y-4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 - y.Para qualquer y real existe x=4-y real tal que f(x)=y. Logo todos os y reais são atingidos.
  • Portanto a imagem também é todo o conjunto dos números reais: \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 8

Resumo final dos elementos importantes do gráfico (pontos notáveis e comportamento):
  • Coeficiente angular: a=-1 (reta decrescente).
  • Coeficiente linear (intercepto em y): b=4, ponto (0,4).
  • Intercepto em x: (4,0).
  • Ao traçar: ligar (0,4) a (4,0) e estender a reta para os dois lados.
  • Comportamento nas extremidades: tende a -\infty quando x\to+\infty e a +\infty quando x\to-\infty.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}

Exercícios relacionados