Esboce os gráficos das seguintes funções afins, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Esboçar o gráfico da função (ou seja, indicar como traçar a reta correspondente).
- Determinar o domínio e a imagem (range) da função.
Informação dada:
- A própria expressão da função:
.
Passo 2
O que é uma função afim e como interpretá-la (rápida aula):
- Uma função afim tem a forma geral
. -
é o coeficiente angular (a inclinação, ou “declive”) da reta. -
é o coeficiente linear (o termo independente), que é o valor de quando — isto é, a ordenada onde a reta corta o eixo .
-
- A inclinação
indica como a função varia quando aumenta: - Se
, a reta sobe (função crescente). - Se
, a reta desce (função decrescente). - Se
, a função é constante (reta horizontal).
- Se
- Para esboçar a reta basta dois pontos distintos; com dois pontos já se traça a reta inteira.
Passo 3
Identificar os parâmetros da nossa função:
- Compare
com . - Aqui
e . - Explicando:
significa que a cada aumento de em , diminui . -
significa que a reta corta o eixo no ponto .
- Explicando:
Passo 4
Encontrar pontos-chave para desenhar a reta (contas passo a passo, sem pular):
- Ponto quando
(ordenada na origem): então o ponto é o corte com o eixo . - Corte com o eixo
: resolver : então o ponto é o corte com o eixo . - Mais um ponto para segurança, por exemplo
: ponto . E para : ponto .
Passo 5
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para fazer na prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal é
, vertical é . - Marque e plot os pontos que encontramos:
, e, se quiser, ou . - Trace uma reta passando por esses pontos (reta infinita nas duas direções). Como
, a reta desce com inclinação relativa ao aumento unitário (em escala igual nos eixos): ao andar 1 para a direita, sobe/ desce 1 para baixo — neste caso desce 1. - Verifique o comportamento nas extremidades:
Esses passos são suficientes para um esboço correto e rápido.
Passo 6
Determinar o domínio (explicando o raciocínio):
- O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão faz sentido. - A expressão
é uma expressão polinomial de grau 1 (não há divisão por , não há raiz de índice par, nem logaritmo etc.), então não há restrição. - Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 7
Determinar a imagem (range) e justificar detalhadamente:
- A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de
quando varia no domínio. - Como vimos no Passo 5, quando
a função tende a e quando tende a . Isso indica que a reta atinge valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos. - Outra forma mais algébrica e convincente: dado qualquer
, resolver para : Para qualquer real existe real tal que . Logo todos os reais são atingidos. - Portanto a imagem também é todo o conjunto dos números reais:
Passo 8
Resumo final dos elementos importantes do gráfico (pontos notáveis e comportamento):
- Coeficiente angular:
(reta decrescente). - Coeficiente linear (intercepto em
): , ponto . - Intercepto em
: . - Ao traçar: ligar
a e estender a reta para os dois lados. - Comportamento nas extremidades: tende a
quando e a quando .