Esboce os gráficos das seguintes funções afins, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
f(x)=-2 x+7

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função afim f dada:
  • Esboçar o gráfico da função
  • Determinar o domínio e a imagem
A informação que temos é apenas a expressão da função:
f(x)=-2x+7.
Dados úteis extraídos diretamente da expressão (são só números da função):
  • Coeficiente angular (inclinação): a=-2.
  • Coeficiente linear (ordenada na origem): b=7.

Passo 2

O que é uma função afim e o que significam a e b (mini-aula):
  • Uma função afim tem a forma geral
f(x)=ax+b,
onde a e b são números fixos.
  • a é o coeficiente angular (ou declive, ou inclinação). Ele diz quanto o valor de f(x) varia quando x aumenta de uma unidade. Mais precisamente, se aumentamos x em 1, f(x) muda em a.
  • b é a ordenada na origem, isto é, o valor de f quando x=0: f(0)=b. É o ponto onde a reta corta o eixo y.
  • Se a>0 a reta sobe (função crescente). Se a<0 a reta desce (função decrescente). Se a=0 a função é constante.

Passo 3

Encontrar pontos fáceis para desenhar a reta (pegando dados da expressão):
  • Ordenada na origem (y-intercept): calcular f(0).
f(0)=-2\cdot 0+7=7.
Portanto um ponto da reta é (0,7).
  • Raiz da função (x-intercept): resolver f(x)=0.
-2x+7=0
-2x=-7
x=\frac{7}{2}.
Logo a reta corta o eixo x em \bigl(\tfrac{7}{2},0\bigr), isto é em x=3{,}5.

Passo 4

Calcular alguns pontos adicionais para maior segurança ao desenhar (contas passo a passo):
  • Para x=1:
f(1)=-2\cdot 1+7=-2+7=5,
ponto (1,5).
  • Para x=2:
f(2)=-2\cdot 2+7=-4+7=3,
ponto (2,3).
  • Para x=-1:
f(-1)=-2\cdot(-1)+7=2+7=9,
ponto (-1,9).
Resumo de pontos práticos para desenhar: (-1,9),(0,7),(1,5),(2,3),\bigl(\tfrac{7}{2},0\bigr).

Passo 5

Interpretação do coeficiente angular e como esboçar a reta:
  • O coeficiente a=-2 significa que, ao andar uma unidade para a direita no eixo x (de x para x+1), o y diminui 2 unidades. Ex.: de (0,7) para (1,5) desceu 2 em y enquanto subiu 1 em x.
  • Para esboçar a reta na prova: desenhe eixos, marque os pontos calculados (pelo menos dois bastam, por exemplo (0,7) e \bigl(\tfrac{7}{2},0\bigr)), e trace a reta passando por eles, estendendo para os dois lados.
  • Como dica prática: use os pontos inteiros (0,7) e (1,5) para ter uma referência rápida do declive.

Passo 6

Comportamento da função quando x\to\pm\infty (para saber a imagem):
  • Avaliar limites (intuicionalmente) usando a expressão \,f(x)=-2x+7.
\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}(-2x+7) = -\infty,
porque o termo dominante é -2x e -2x\to -\infty quando x\to+\infty.
\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty}(-2x+7) = +\infty,
porque -2x vira + \infty quando x\to -\infty.
  • A expressão está definida para qualquer x\in\mathbb{R} (não há divisão por zero, raiz par de número negativo etc.), então a função existe para todo x real.

Passo 7

Conclusão do esboço e observações finais (como fazer rápido na prova):
  • Marque os eixos e os pontos (0,7) e \bigl(\tfrac{7}{2},0\bigr) (ou (1,5) também). Trace a reta passando por esses pontos.
  • Anote que a reta é decrescente (porque a=-2<0), cruza o eixo y em 7 e cruza o eixo x em x=\tfrac{7}{2}.
  • Para a resposta rápida em prova: apresente domínio e imagem (seguindo a justificativa dos limites e do fato de a função estar definida para todo real).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}

Exercícios relacionados