Esboce os gráficos das seguintes funções afins, na sequência determine o domínio e a imagem para cada uma delas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função afim
dada:
- Esboçar o gráfico da função
- Determinar o domínio e a imagem
A informação que temos é apenas a expressão da função:
Dados úteis extraídos diretamente da expressão (são só números da função):
- Coeficiente angular (inclinação):
. - Coeficiente linear (ordenada na origem):
.
Passo 2
O que é uma função afim e o que significam
e
(mini-aula):
- Uma função afim tem a forma geral
onde
e
são números fixos.
-
é o coeficiente angular (ou declive, ou inclinação). Ele diz quanto o valor de varia quando aumenta de uma unidade. Mais precisamente, se aumentamos em , muda em . -
é a ordenada na origem, isto é, o valor de quando : . É o ponto onde a reta corta o eixo . - Se
a reta sobe (função crescente). Se a reta desce (função decrescente). Se a função é constante.
Passo 3
Encontrar pontos fáceis para desenhar a reta (pegando dados da expressão):
- Ordenada na origem (y-intercept): calcular
.
Portanto um ponto da reta é
.
- Raiz da função (x-intercept): resolver
.
Logo a reta corta o eixo
em
, isto é em
.
Passo 4
Calcular alguns pontos adicionais para maior segurança ao desenhar (contas passo a passo):
- Para
:
ponto
.
- Para
:
ponto
.
- Para
:
ponto
.
Resumo de pontos práticos para desenhar:
.
Passo 5
Interpretação do coeficiente angular e como esboçar a reta:
- O coeficiente
significa que, ao andar uma unidade para a direita no eixo (de para ), o diminui unidades. Ex.: de para desceu em enquanto subiu em . - Para esboçar a reta na prova: desenhe eixos, marque os pontos calculados (pelo menos dois bastam, por exemplo
e ), e trace a reta passando por eles, estendendo para os dois lados. - Como dica prática: use os pontos inteiros
e para ter uma referência rápida do declive.
Passo 6
Comportamento da função quando
(para saber a imagem):
- Avaliar limites (intuicionalmente) usando a expressão
.
porque o termo dominante é
e
quando
.
porque
vira
quando
.
- A expressão está definida para qualquer
(não há divisão por zero, raiz par de número negativo etc.), então a função existe para todo real.
Passo 7
Conclusão do esboço e observações finais (como fazer rápido na prova):
- Marque os eixos e os pontos
e (ou também). Trace a reta passando por esses pontos. - Anote que a reta é decrescente (porque
), cruza o eixo em e cruza o eixo em . - Para a resposta rápida em prova: apresente domínio e imagem (seguindo a justificativa dos limites e do fato de a função estar definida para todo real).
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: